トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、オープンサブセット（開部分集合）でクローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）がオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、第1サブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちに対して、もしも、第1サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）が第2サブセット（部分集合）内に包含されている場合、第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）は第1サブセット（部分集合）内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall U \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\forall C \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } C \subseteq U (\exists V \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (C \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U)))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はノーマル（正規）であると仮定する; ステップ2: 以下を満たす\(U_1, U_2\)、つまり、\(C \subseteq U_1\)、\(T \setminus U \subseteq U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、を取り、\(V := U_1\)でよいことを見る; ステップ3: ある\(V\)があると仮定する; ステップ4: 以下を満たす\(C_1, C_2\)、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、を取り、\(C_1 \subseteq T \setminus C_2\)および\(T \setminus \overline{V}\)に対する\(V\)でよいことを見る。
ステップ1:
\(T\)はノーマル（正規）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(T \setminus U \subseteq T\)はクローズド（閉）である。
\(C \cap (T \setminus U) = \emptyset\)、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \in U\)、したがって、\(c \notin T \setminus U\)。
\(T\)はノーマル（正規）であるから、以下を満たす何らかのオープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(C \subseteq U_1\)、\(T \setminus U \subseteq U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、がある。
\(U_1 \subseteq U\)、なぜなら、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)および\(T \setminus U \subseteq U_2\)であるから、\(U_1 \cap (T \setminus U) = \emptyset\)、そして、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、第1サブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含されているという命題によって、\(U_1 \subseteq (T \setminus (T \setminus U)) = U\)。
\(U_1 \subseteq T \setminus U_2\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、第1サブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含されているという命題によって、なぜなら、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。
したがって、\(\overline{U_1} \subseteq T \setminus U_2\)、なぜなら、当該クロージャー（閉包）は、\(U_1\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるところ、\(T \setminus U_2\)はそうしたクローズドサブセット（閉部分集合）たちの内の1つである。
\(T \setminus U_2 \subseteq U\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちに対して、もしも、第1サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）が第2サブセット（部分集合）内に包含されている場合、第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）は第1サブセット（部分集合）内に包含されているという命題によって、なぜなら、\(T \setminus U \subseteq U_2\)。
したがって、\(C \subseteq U_1 \subseteq \overline{U_1} \subseteq U\)。
したがって、\(V := U_1\)でよい。
ステップ3:
各\(U\)および各\(C\)に対して、ある\(V\)があると仮定しよう。
ステップ4:
\(C_1, C_2 \subseteq T\)を、以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、としよう。
\(C := C_1\)および\(U := T \setminus C_2\)としよう。
\(U \subseteq T\)はオープン（開）であり、\(C \subseteq U\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、第1サブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含されているという命題によって、なぜなら、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)。
したがって、以下を満たすあるオープン（開）\(V \subseteq T\)、つまり、\(C \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U\)、がある。
\(C_2 \subseteq T \setminus \overline{V}\)、なぜなら、各\(c_2 \in C_2\)に対して、\(c_2 \notin U\)、したがって、\(c_2 \notin \overline{V}\)、したがって、\(c_2 \in T \setminus \overline{V}\)。
\(T \setminus \overline{V} \subseteq T\)はオープン（開）である。
\(V \cap (T \setminus \overline{V}) = \emptyset\)。
したがって、\(C_1 \subseteq V\)、\(C_2 \subseteq T \setminus \overline{V}\)、\(V \cap (T \setminus \overline{V}) = \emptyset\)。
したがって、\(T\)はノーマル（正規）である。
