メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはノーマル（正規）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）で当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはノーマル（正規）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(M \in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち\(C_1, C_2 \subseteq M\)、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、を取る; ステップ2: \(C_1 = \emptyset\)または\(C_1 = \emptyset\)であるケースに対処し、それ以降はそうでないと仮定する; ステップ3: \(C_j\)は、\(M\)の、\(C_j\)へのディスタンス（距離）たちが\(0\)である全てのポイントたちのセット（集合）であることを見る; ステップ4: \(U_1 := \cup_{c_1 \in C_1} B_{c_1, dist (c_1, C_2) / 3}\)および\(U_2 := \cup_{c_2 \in C_2} B_{c_2, dist (c_2, C_1) / 3}\)を取り、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
\(C_1, C_2 \subseteq M\)を、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たちとしよう。
ステップ2:
\(C_1 = \emptyset\)である時は、\(U_1 := \emptyset\)および\(U_2 := M\)は、\(C_1 \subseteq U_1\)、\(C_2 \subseteq U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)を満たす。
\(C_2 = \emptyset\)である時は、\(U_1 := M\)および\(U_2 := \emptyset\)は、\(C_1 \subseteq U_1\)、\(C_2 \subseteq U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)を満たす。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ3:
\(C_j\)は、\(M\)の、\(C_j\)へのディスタンス（距離）たちが\(0\)である全てのポイントたちのセット（集合）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）へのディスタンス（距離）たちが\(0\)であるポイントたちのセット（集合）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）であるという命題によって: \(\overline{C_j} = C_j\)。
それが意味するのは、各\(m \in M\)に対して、\(dist (m, C_j) = 0\)、もしも、\(m \in C_j\)である場合、そしてその場合に限って。
ステップ4:
したがって、各\(c_1 \in C_1\)に対して、\(0 \lt dist (c_1, C_2)\)、なぜなら、\(c_1 \notin C_2\)。
各\(c_2 \in C_2\)に対して、\(0 \lt dist (c_2, C_1)\)、同様に。
\(U_1 := \cup_{c_1 \in C_1} B_{c_1, dist (c_1, C_2) / 3}\)および\(U_2 := \cup_{c_2 \in C_2} B_{c_2, dist (c_2, C_1) / 3}\)を取ろう。
\(U_1 \subseteq M\)および\(U_2 \subseteq M\)は、何らかのサブセット（部分集合）たちである。
\(C_1 \subseteq U_1\)および\(C_2 \subseteq U_2\)。
\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)であることを見よう。
ある\(m \in U_1 \cap U_2\)があったと仮定しよう。
\(m \in B_{c_1, dist (c_1, C_2) / 3}\)、ある\(c_1 \in C_1\)に対して、および、\(m \in B_{c_2, dist (c_2, C_1) / 3}\)、ある\(c_2 \in C_2\)に対して。
\(dist (c_1, c_2) \le dist (c_1, m) + dist (m, c_2) \lt dist (c_1, C_2) / 3 + dist (c_2, C_1) / 3\)。
しかし、\(dist (c_1, C_2) \le dist (c_1, c_2)\)および\(dist (c_2, C_1) \le dist (c_1, c_2)\)。
したがって、\(dist (c_1, C_2) \lt dist (c_1, C_2) / 3 + dist (c_2, C_1) / 3\)および\(dist (c_2, C_1) \lt dist (c_1, C_2) / 3 + dist (c_2, C_1) / 3\)。
前者から、\(2 dist (c_1, C_2) \lt dist (c_2, C_1)\)、後者から、\(dist (c_2, C_1) \lt 1 / 2 dist (c_1, C_2)\)。
したがって、\(2 dist (c_1, C_2) \lt 1 / 2 dist (c_1, C_2)\)、矛盾。
したがって、そうした\(m\)は無い、したがって、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。
したがって、\(M\)はノーマル（正規）である。
