クローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in\{\text{ 全てのクローズドマップ（閉写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はあるバイジェクション（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: T_2 \to T_1\)がある。
\(U \subseteq T_1\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\({f^{-1}}^{-1} (U) = f (U) = f (T_1 \setminus C)\)、ここで、\(C \subseteq T_1\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）。
\(= f (T_1) \setminus f (C)\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題によって、\(= T_2 \setminus f (C)\)、なぜなら、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
\(f (C) \subseteq T_2\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(f\)はクローズド（閉）である、したがって、\(T_2 \setminus f (C) \subseteq T_2\)はオープン（開）である。
したがって、\(f^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
