コンパクトトポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の上へのコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の上への任意のコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を適用する。
ステップ1:
\(C \subseteq T_1\)を任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たちとしよう。
\(C\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(f (C)\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題によって。
\(f (C)\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
したがって、\(f\)はあるクローズドマップ（閉写像）である。
したがって、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
