セカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよびポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、セット（集合）の要素で、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)でありクローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある、があることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよび当該ポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、当該セット（集合）のある要素で、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)であり当該クローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある、があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\([0, 1]\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}, \exists S = \{f_j: T \to [0, 1] \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \vert j \in J\} (\forall t \in T (\forall C \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t \notin C (\exists f_j \in S (\exists U_t \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (f (U_t) = \{0\} \land f (C) = \{1\})))))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B\)を取り、\(B\)の以下を満たす何らかの要素たちのペア、つまり、以下を満たすあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (b_2) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)、がある、たちのセット（集合）\(J := \{(b_1, b_2)\}\)を取り、各そうしたペアに対してそうしたある\(f\)を選び、セット（集合）\(S' := \{((b_1, b_2), f_{(b_1, b_2)}) \vert (b_1, b_2) \in J\}\)を取る; ステップ2: \(S := \{f_j \vert j \in J, (j, f_j) \in S'\}\)を取る; ステップ3: \(S\)は本命題の要求たちを満たすことを見る。
ステップ0:
\(T = \emptyset\)である時、本命題は空虚に成立する、なぜなら、\(J = \mathbb{N}\)および各\(j \in J\)に対して、唯一の可能な\(f_j: T \to [0, 1]\)、で良い、なぜなら、\(t \in T\)は全くない。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ1:
\(B\)を\(T\)に対する任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）としよう。
\(J \subseteq B \times B\)を、以下を満たす、\(B\)の何らかの要素たちのペアたちのセット（集合）、つまり、各\((b_1, b_2) \in J\)に対して、以下を満たすあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (b_2) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)、がある、としよう。
\(J\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、それはカウンタブル（可算）\(B \times B\)のあるサブセット（部分集合）である。
\(J\)は非空、実のところ、各非空\(b_1 \in B\)に対して、少なくとも\(1\)個の以下を満たす\(b_2 \in B\)、つまり、\((b_1, b_2) \in J\)、がある、なぜなら、ある\(t \notin T \setminus b_1\)があり、したがって、以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)およびあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (U_t) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)、がある、なぜなら、\(T\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）である（コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義に対する"注"を参照のこと）、そして、以下を満たすある\(b_2 \in B\)、つまり、\(t \in b_2 \in U_t\)、がある、したがって、\(f (b_2) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)が成立する。
今や私たちは、以下を満たすファンクション（関数）\(F\)、つまり、当該ドメイン（定義域）は\(J\)であり各\((b_1, b_2) \in J\)に対して、\(F ((b_1, b_2)) = \{f: T \to [0, 1] \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \vert f (b_2) = \{0\} \land f (T \setminus b_1) = \{1\}\}\)、それは、非空である、を持っている。
チョイス（選択）公理によって、以下を満たすあるファンクション（関数）\(F'\)、つまり、当該ドメイン（定義域）は\(J\)であり各\((b_1, b_2) \in J\)に対して、\(F' ((b_1, b_2)) \in F ((b_1, b_2))\)、がある。
\(S' := \{((b_1, b_2), f_{(b_1, b_2)} := F' ((b_1, b_2))) \vert (b_1, b_2) \in J\}\)を取ろう。
ステップ2:
\(S := \{f_j \vert j \in J, (j, f_j) \in S'\}\)を取ろう。
\(S\)はあるカウンタブル（可算）セット（集合）である。
ステップ3:
\(S\)は本命題の要求たちを満たすことを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、\(t \notin C\)を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(t \in T \setminus C\)、したがって、\(T \setminus C \subseteq T\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、以下を満たすある\(b_1 \in B\)、つまり、\(t \in b_1 \subseteq T \setminus C\)、がある。
\(t \notin T \setminus b_1\)。
以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)およびあるコンティニュアス（連続）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (U_t) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)、がある、なぜなら、\(T\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）である。
以下を満たすある\(b_2 \in B\)、つまり、\(t \in b_2 \subseteq U_t\)、がある。
したがって、\(f (b_2) = \{0\}\)および\(f (T \setminus b_1) = \{1\}\)。
したがって、\((b_1, b_2) \in J\)。
したがって、\(f_{(b_1, b_2)} \in S\)は、\(f_{(b_1, b_2)} (b_2) = \{0\}\)および\(f_{(b_1, b_2)} (T \setminus b_1) = \{1\}\)を満たす。
\(C \subseteq T \setminus b_1\)、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \notin T \setminus C\)、したがって、\(c \notin b_1 \subseteq T \setminus C\)、したがって、\(c \in T \setminus b_1\)、したがって、\(f_{(b_1, b_2)} (C) = \{1\}\)。
