プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）およびサブプロダクトの要素に対して、マップ（写像）のクロスセクション（断面）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）のサブセット（部分集合）からのマップ（写像）の、サブプロダクトセット（集合）の要素によるクロスセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、当該サブスペース（部分空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブスペース（部分空間）の当該要素によるクロスセクション（断面）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）および任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該マップ（写像）の当該要素によるクロスセクション（断面）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_{j'} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j' \in J'\}\):
\(\times_{j' \in J'} T_{j'}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T\): \(\subseteq \times_{j' \in J'} T_{j'}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(\overline{\mathbb{R}}\): \(= \text{ 当該エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T \to \overline{\mathbb{R}}\)
\(J\): \(\subset J'\)で、\(J \neq \emptyset\)を満たすもの
\(\times_{j \in J} t_j\): \(\in \times_{j \in J} T_j\)
\(f_{[\times_{j \in J} t_j]}\): \(: T_{[\times_{j \in J} t_j]} \to \overline{\mathbb{R}}\), \(= \text{ 当該クロスセクション（断面） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(f_{[\times_{j \in J} t_j]} \in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l \in T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)および各\(r \lt f_{[\times_{j \in J} t_j]} (\times_{l \in J' \setminus J} t_l)\)に対して、以下を満たすある\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)、つまり、\(r \lt f (U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})\)、を取り、\((U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(r \lt f_{[\times_{j \in J} t_j]} ((U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]})\)であることを見る。
ステップ1:
\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l \in T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)を任意のものとしよう。
\(r \in \mathbb{R}\)を、以下を満たす任意のもの、つまり、\(r \lt f_{[\times_{j \in J} t_j]} (\times_{l \in J' \setminus J} t_l)\)、としよう。
\(f_{[\times_{j \in J} t_j]} (\times_{l \in J' \setminus J} t_l) = f (\times_{j' \in J'} t_{j'})\)。
\(r \lt f (\times_{j' \in J'} t_{j'})\)であり\(f\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるから、\(\times_{j' \in J'} t_{j'}\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \subseteq T\)、つまり、\(r \lt f (U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})\)、がある。
\((U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)、\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)の\(\times_{j \in J} t_j\)によるクロスセクション（断面）、は、\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l\)の\(T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(\times_{j' \in J'} t_{j'} \in U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)であり\((U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]} \subseteq T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)はオープン（開）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、当該サブスペース（部分空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブスペース（部分空間）の当該要素によるクロスセクション（断面）上でオープン（開）であるという命題によって。
すると、各\(\times_{l \in J' \setminus J} u_l \in (U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(u_j := t_j\)と取って、\(\times_{j' \in J'} u_l \in U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)、したがって、\(f_{[\times_{j \in J} t_j]} (\times_{l \in J' \setminus J} u_l) = f (\times_{j' \in J'} u_l) \in f (U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})\)、したがって、\(r \lt f_{[\times_{j \in J} t_j]} (\times_{l \in J' \setminus J} u_l)\)、したがって、\(r \lt f_{[\times_{j \in J} t_j]} ((U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]})\)。
したがって、\(f_{[\times_{j \in J} t_j]}\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）である。
