プロダクトトポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、サブスペース（部分空間）のオープンサブセット（開部分集合）、サブプロダクトの要素に対して、オープンサブセット（開部分集合）のクロスセクション（断面）はサブスペース（部分空間）のクロスセクション（断面）上でオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）のサブセット（部分集合）の、サブプロダクトセット（集合）の要素によるクロスセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）、第1サブセット（部分集合）を包含する任意のサブセット（部分集合）、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、第1サブセット（部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は第2サブセット（部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）内に包含されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）たち、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブセット（部分集合）たちの当該要素によるクロスセクション（断面）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、当該サブスペース（部分空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブスペース（部分空間）の当該要素によるクロスセクション（断面）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_{j'} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j' \in J'\}\):
\(\times_{j' \in J'} T_{j'}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T\): \(\subseteq \times_{j' \in J'} T_{j'}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(J\): \(\subset J'\)で、\(J \neq \emptyset\)を満たすもの
\(\times_{j \in J} t_j\): \(\in \times_{j \in J} T_j\)
\(U_{[\times_{j \in J} t_j]}\): \(= \text{ 当該クロスセクション（断面） }\)
\(T_{[\times_{j \in J} t_j]}\): \(= \text{ 当該クロスセクション（断面） } \subseteq \times_{l \in J' \setminus J} T_l\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(U_{[\times_{j \in J} t_j]} \in \{T_{[\times_{j \in J} t_j]} \text{ の全てのオープンサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
\(T = \times_{j' \in J'} T_{j'}\)である時は、\(U\)は\(\times_{j' \in J'} T_{j'}\)上でオープン（開）であり、\(T_{[\times_{j \in J} t_j]} = \times_{l \in J' \setminus J} T_l\)であるから、\(U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} T_l\)上でオープン（開）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l \in U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)に対して、\(\times_{j' \in J'} t_{j'} \in U\)であり、\(\times_{j' \in J'} t_{j'}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} = U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \cap T \subseteq U\)を取り、\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]} \cap T_{[\times_{j \in J} t_j]} \subseteq U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)であることを見る; ステップ2: \((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l\)の\(\times_{l \in J' \setminus J} T_l\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る。
ステップ1:
\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l \in U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)を任意のものとしよう。
\(\times_{j' \in J'} t_{j'} \in U\)。
\(\times_{j' \in J'} t_{j'}\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \subseteq T\)、つまり、\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \subseteq U\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。
\(U_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} = U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \cap T\)、ここで、\(U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \subseteq \times_{j' \in J'} T_{j'}\)は\(\times_{j' \in J'} t_{j'}\)の\(\times_{j' \in J'} T_{j'}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \cap T)_{[\times_{j \in J} t_j]} \subseteq U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）、第1サブセット（部分集合）を包含する任意のサブセット（部分集合）、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、第1サブセット（部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は第2サブセット（部分集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）内に包含されるという命題によって。
しかし、\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}} \cap T)_{[\times_{j \in J} t_j]} = (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]} \cap T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）たち、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブセット（部分集合）たちの当該要素によるクロスセクション（断面）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]} \cap T_{[\times_{j \in J} t_j]} \subseteq U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)。
ステップ2:
\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l\)の\(\times_{l \in J' \setminus J} T_l\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見よう。
\(\times_{l \in J' \setminus J} t_l \in (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)、なぜなら、\(\times_{j' \in J'} t_{j'} \in U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)。
\(\times_{l \in J' \setminus J} u_l \in (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して\(u_j := t_j\)と取って、\(\times_{j' \in J'} u_{j'} \in U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)。
プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって、ある\(\times_{j' \in J'} U'_{u_{j'}} \subseteq U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)、ここで、\(U'_{u_{j'}} \subseteq T_{j'}\)は\(u_{j'}\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U'_{u_{j'}}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_{j'}\)たちでない、がある。
\(\times_{l \in J' \setminus J} U'_{u_l} \subseteq \times_{l \in J' \setminus J} T_l\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} u_l\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって: only finite of \(U'_{u_l}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのが\(T_l\)たちでない。
\(\times_{l \in J' \setminus J} U'_{u_l} \subseteq (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)であることを見よう。
\(\times_{l \in J' \setminus J} v_l \in \times_{l \in J' \setminus J} U'_{u_l}\)を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(v_j := t_j\)と取って、\(\times_{j' \in J'} v_{j'} \in \times_{j' \in J'} U'_{u_{j'}} \subseteq U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}}\)。
それが意味するのは、\(\times_{l \in J' \setminus J} v_l \in (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} U'_{u_l} \subseteq (U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(\times_{l \in J' \setminus J} T_l\)上でオープン（開）である。
したがって、\((U'_{\times_{j' \in J'} t_{j'}})_{[\times_{j \in J} t_j]} \cap T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U_{[\times_{j \in J} t_j]}\)は\(T_{[\times_{j \in J} t_j]}\)上でオープン（開）である。
