ユニバーサルネットに対して、別のトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）の前にネットを作用させるコンポジション（合成）はユニバーサルであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニバーサルネットに対して、任意の別のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）の前に当該ネットを作用させるコンポジション（合成）はユニバーサルであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(D\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: D \to T\), \(\in \{\text{ 全てのユニバーサルネットたち }\}\)
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: T \to T'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \circ f \in \{\text{ 全てのユニバーサルネットたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S \subseteq T'\)を任意のものとし、\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(f'^{-1} (S)\)内にあるか\(T \setminus f'^{-1} (S)\)内にあるかであることを見る; ステップ2: \(T \setminus f'^{-1} (S) = f'^{-1} (T' \setminus S)\)であり、\(f' \circ f\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあるか\(T' \setminus S\)内にあるかであることを見る。
ステップ1:
\(S \subseteq T'\)を任意のものとしよう。
\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(f'^{-1} (S)\)内にあるか\(T \setminus f'^{-1} (S)\)内にあるかである、なぜなら、\(f\)はユニバーサルである。
ステップ2:
\(T \setminus f'^{-1} (S) = f'^{-1} (T' \setminus S)\)、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。
\(f\)がイベンチュアル（最終的）に\(f'^{-1} (S)\)内にある時、\(f' \circ f\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にある、なぜなら、以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \in f'^{-1} (S)\)、それが含意するのは、\(f' \circ f (d') \in S\)、がある。
\(f\)がイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus f'^{-1} (S) = f'^{-1} (T' \setminus S)\)内にある時、\(f' \circ f\)はイベンチュアル（最終的）に\(T' \setminus S\)内にある、なぜなら、以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \in T \setminus f'^{-1} (T' \setminus S)\)、それが含意するのは、\(f' \circ f (d) \in T' \setminus S\)、がある。
したがって、\(f' \circ f\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあるか\(T' \setminus S\)内にあるかである。
したがって、\(f' \circ f\)はユニバーサルである。
