プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびインデックスセット（集合）のパーティションに対して、プロダクトスペース（空間）は、分割されたインデックスセット（集合）たちを持つサブプロダクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）および各構成要素セット（集合）のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該構成要素セット（集合）たちのサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）たちのプロダクトは当該サブセット（部分集合）たちのプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および当該インデックスセット（集合）の任意のパーティションに対して、当該プロダクトスペース（空間）は、分割されたインデックスセット（集合）たちを持つサブプロダクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(L\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{J_l \subseteq J \vert l \in L\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(l_1 \neq l_2\)を満たす各\(l_1, l_2 \in L\)に対して、\(J_{l_1} \cap J_{l_2} = \emptyset\)および\(\cup_{l \in L} J_l = J\)
\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} T_j \equiv_{ホメオモーフィズム（位相同形写像）} \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f: \times_{j \in J} T_j \to \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j, \times_{j \in J} t_j \mapsto \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t_j\)を定義し、\(f\)はあるバイジェクション（全単射）であることを見る; ステップ2: \(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(f\)はオープン（開）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f: \times_{j \in J} T_j \to \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j, \times_{j \in J} t_j \mapsto \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t_j\)を定義しよう。
\(f\)はあるバイジェクション（全単射）であることを見よう。
\(\times_{j \in J} t_j, \times_{j \in J} t'_j \in \times_{j \in J} T_j\)を、\(\times_{j \in J} t_j \neq \times_{j \in J} t'_j\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(t_j \neq t'_j\)、がある。
以下を満たすある\(l \in L\)、つまり、\(j \in J_l\)、がある。
\(\times_{j \in J_l} t_j \neq \times_{j \in J_l} t'_j\)。
したがって、\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t_j \neq \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t'_j\)。
So, \(f\) is injective. したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t_j \in \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\)を任意のものとしよう。
以下を満たす\(t \in \times_{j \in J} T_j\)、つまり、\(j\)-コンポーネントは\(t^j = t_j\)、がある。
すると、\(t = \times_{j \in J} t_j\)、そして、\(f (t) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} t_j\)。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
したがって、\(f\)はバイジェククティブ（全単射）である。
ステップ2:
\(U \subseteq \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \cup_{m \in M} \times_{l \in L} U_{m, l}\)、ここで、\(M\)アンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）で\(U_{m, l} \subseteq \times_{j \in J_l} T_j\)は以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）、つまり、各\(m \in M\)に対して、\(U_{m, l}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(\times_{j \in J_l} T_j\)たちでない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
各\(m\)に対して、\(U_{m, l} = \times_{j \in J_l} T_j\)を満たす各\(l \in L\)に対して、\(U_{m, l} = \cup_{n_{m, l} \in N_{m, l}} \times_{j \in J_l} U_{m, l, n_{m, l}, j}\)、ここで、\(\vert N_{m, l} \vert = 1\)および\(U_{m, l, n_{m, l}, j} = T_j\); 以下を満たす各\(l \in L\)、つまり、\(U_{m, l} \neq \times_{j \in J_l} T_j\)、に対して、\(U_{m, l} = \cup_{n_{m, l} \in N_{m, l}} \times_{j \in J_l} U_{m, l, n_{m, l}, j}\)、ここで、\(N_{m, l}\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、\(U_{m, l, n_{m, l}, j} \subseteq T_j\)は以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）、つまり、各\(n_{m, l} \in N_{m, l}\)に対して、\(U_{m, l, n_{m, l}, j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_j\)たちでない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
したがって、\(U = \cup_{m \in M} \times_{l \in L} \cup_{n_{m, l} \in N_{m, l}} \times_{j \in J_l} U_{m, l, n_{m, l}, j}\)。
任意のプロダクトセット（集合）および各構成要素セット（集合）のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該構成要素セット（集合）たちのサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）たちのプロダクトは当該サブセット（部分集合）たちのプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{m \in M} \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}\): \(S_{l, n_{m, l}} := \times_{j \in J_l} U_{m, l, n_{m, l}, j}\)を取る、すると、\(\times_{l \in L} \cup_{n_{m, l} \in N_{m, l}} \times_{j \in J_l} U_{m, l, n_{m, l}, j} = \times_{l \in L} \cup_{n_{m, l} \in N_{m, l}} S_{l, n_{m, l}}\)、そして、\(= \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} \times_{l \in L} S_{l, g (l)} = \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}\)。
\(f^{-1} (U) = f^{-1} (\cup_{m \in M} \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}) = \cup_{m \in M} \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}) = \times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j}\)であることを見よう。
\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l, g (l), j}) \in f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)を任意のものとしよう。
\(f (\times_{j \in J} u_{m, l, g (l), j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l, g (l), j}\)、したがって、\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l, g (l), j}) = \times_{j \in J} u_{m, l, g (l), j} \in \times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j}\)。
したがって、\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}) \subseteq \times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j}\)。
\(\times_{j \in J} u_{m, l, g (l), j} \in \times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j}\)を任意のものとしよう。
\(f (\times_{j \in J} u_{m, l, g (l), j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l, g (l), j} \in \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}\)、したがって、\(\times_{j \in J} u_{m, l, g (l), j} \in f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)。
したがって、\(\times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j} \subseteq f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)。
したがって、\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j}) = \times_{j \in J} U_{m, l, g (l), j}\)。
\(U_{m, l, g (l), j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_j\)たちでない、なぜなら、\(g \in \times_{l \in L} N_{m, l}\)であるところ、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(L^` \subseteq L\)、つまり、各\(l \in L \setminus L^`\)に対して、\(\vert N_{m, l} \vert = 1\)および\(U_{m, l, g (l), j} = T_j\)で各\(l \in L^`\)に対して、\(U_{m, l, g (l), j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_j\)たちでない、がある。
したがって、\(f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)は\(\times_{j \in J} T_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f^{-1} (U) = \cup_{m \in M} \cup_{g \in \times_{l \in L} N_{m, l}} f^{-1} (\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, l, g (l), j})\)は\(\times_{j \in J} T_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
\(U \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \cup_{m \in M} \times_{j \in J} U_{m, j}\)、ここで、\(M\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で\(U_{m, j} \subseteq T_j\)は以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）、つまり、各\(m \in M\)に対して、\(U_{m, j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでない、前と同様。
\(f (U) = f (\cup_{m \in M} \times_{j \in J} U_{m, j}) = \cup_{m \in M} f (\times_{j \in J} U_{m, j})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f (\times_{j \in J} U_{m, j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)であることを見よう。
\(f (\times_{j \in J} u_{m, j}) \in f (\times_{j \in J} U_{m, j})\)を任意のものとしよう。
\(f (\times_{j \in J} u_{m, j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, j} \in \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)。
したがって、\(f (\times_{j \in J} U_{m, j}) \subseteq \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)。
\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, j} \in \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)を任意のものとしよう。
\(\times_{j \in J} u_{m, j} \in \times_{j \in J} U_{m, j}\)および\(f (\times_{j \in J} u_{m, j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l}\)、したがって、\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} u_{m, l} \in f (\times_{j \in J} U_{m, j})\)。
したがって、\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j} \subseteq f (\times_{j \in J} U_{m, j})\)。
したがって、\(f (\times_{j \in J} U_{m, j}) = \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)。
\(U_{m, j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでないから、各\(l \in L\)に対して、\(\times_{j \in J_l} U_{m, j}\)は\(\times_{j \in J_l} T_j\)上でオープン（開）であり、\(\times_{j \in J_l} U_{m, j}\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(\times_{j \in J_l} T_j\)たちでない、したがって、\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)は\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f (U) = \cup_{m \in M} \times_{l \in L} \times_{j \in J_l} U_{m, j}\)は\(\times_{l \in L} \times_{j \in J_l} T_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f\)はオープン（開）である。
ステップ4:
したがって、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のオープン（開）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって。
