コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトである（ティチョノフ定理）ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）の中への各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のユニバーサルネットに対して、任意の別のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）の前に当該ネットを作用させるコンポジション（合成）はユニバーサルであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトである（ティチョノフ定理）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} T_j \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題が既に証明されているが、実のところ、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトである、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）の中への各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する。
ステップ1:
\(f: D \to \times_{j \in J} T_j\)を任意のユニバーサルネットとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(\pi^j \circ f: D \to T_j\)、ここで、\(\pi^j: \times_{j \in J} T_j \to T_j\)は当該プロジェクション（射影）、はあるユニバーサルネットである、任意のユニバーサルネットに対して、任意の別のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）の前に当該ネットを作用させるコンポジション（合成）はユニバーサルであるという命題によって。
\(\pi^j \circ f\)はある\(t_j \in T_j\)へコンバージ（収束）する、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）の中への各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、なぜなら、\(T_j\)はコンパクトである。
\(t \in \times_{j \in J} T_j\)を、各\(j \in J\)に対して、\(j\)コンポーネントが\(t^j = t_j\)であるものとしよう。
\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）する、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
したがって、\(\times_{j \in J} T_j\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）の中への各、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットがコンバージェント（収束する）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
