\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）およびドメイン（定義域）のパーティション（分割）たちに対して、部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシリーズ（級数）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)および\(\sum_{j \in J} \vert s (j) \vert = r' \in \mathbb{R}\)
\(\{J_l \subseteq J \vert l \in L\}\): \(\in \{J \text{ の全てのパーティション（分割）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} s (j) = \sum_{j \in J} s (j) \in \mathbb{R}\)
//
\(J_l\)たちおよび\(L\)は不可避にカウンタブル（可算）であり、\(L\)はいかなるように順序付けられてもよい。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert \le r'\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert \le r'\)であることを見る; ステップ3: \(r' \le \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert\)であることを見る; ステップ4: \(r' = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert\)であると結論する; ステップ5: \(\sum_{j \in J} s (j) = \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} s (j)\)であることを見る。
ステップ1:
\({J_l}^` \subseteq J_l\)を、任意の先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）としよう。
\(J^` \subseteq J\)の以下を満たすある先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）、つまり、\({J_l}^` \subseteq J^`\)、がある。
したがって、\(\sum_{j \in {J_l}^`} \vert s (j) \vert \le \sum_{j \in J^`} \vert s (j) \vert \le r'\)。
したがって、\(\sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert = r_l \le r'\)。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(L^` \subseteq L\)を任意の先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）としよう。
各\(l \in L^`\)に対して、\(\vert J_l \vert = n_l \in \mathbb{R}\)である時は、\(u_{l, n_l} := r_l - \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert = 0\)としよう; そうでない時は、以下を満たすある\(N_l \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_l \lt n_l\)を満たす各\(n_l \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r_l - \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert \vert \lt \epsilon / \vert L^` \vert\)、がある、そして、\(u_{l, n_l} := r_l - \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert\)としよう、したがって、いずれにせよ、\(\vert u_{l, n_l} \vert \le \epsilon / \vert L^` \vert\)。
\(\sum_{l \in L^`} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert = \sum_{l \in L^`} r_l = \sum_{l \in L^`} (\sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert + u_{l, n_l}) \le \sum_{l \in L^`} (\sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert + \epsilon / \vert L^` \vert) = \sum_{l \in L^`} \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert + \sum_{l \in L^`} \epsilon / \vert L^` \vert = \sum_{l \in L^`} \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert + \epsilon\)。
以下を満たすある先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(J^` \subseteq J\)、つまり、\(\cup_{l \in L^`} \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\} \subseteq J^`\)、がある。
したがって、\(\sum_{l \in L^`} \sum_{j \in \{{J_l}_1, ..., {J_l}_{n_l}\}} \vert s (j) \vert \le \sum_{j \in J^`} \vert s (j) \vert \le r'\)。
したがって、\(\sum_{l \in L^`} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert \le r' + \epsilon\)。
したがって、\(\sum_{l \in L^`} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert \le r'\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
したがって、\(\sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert \le r'\)。
ステップ3:
\(J^` \subseteq J\)を任意の先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）としよう。
\(J^`\)は何らかのファイナイト（有限）数\(J_l\)たちのユニオン（和集合）内に包含されており、各\(J^` \cap J_l \subseteq J_l\)はあるファイナイトサブセット（有限部分集合）である、したがって、ある先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(L^` \subseteq L\)があり、各\(l \in L^`\)に対して、以下を満たすある先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\({J_l}^` \subseteq J_l\)、つまり、\(J^` \subseteq \cup_{l \in L^`} {J_l}^`\)、がある。
したがって、\(\sum_{j \in J^`} \vert s (j) \vert \le \sum_{l \in L^`} \sum_{j \in {J_l}^`} \vert s (j) \vert \le \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert\)。
したがって、\(r' = \sum_{j \in J} \vert s (j) \vert \le \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert\)。
ステップ4:
したがって、\(r' = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} \vert s (j) \vert\)。
ステップ5:
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s_j)\)のことを考えよう。
各\(j \in J\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) \le \vert s (j) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) = r_1 \in \mathbb{R}\)。
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j))\)、ステップ4によって。
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j))\)のことを考えよう。
各\(j \in J\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) \le \vert s (j) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = r_2 \in \mathbb{R}\)。
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j))\)、ステップ4によって。
\(r_1 - r_2 = \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)))\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題によって、\(= \sum_{j \in J} s (j)\)。
\(r_1 - r_2 = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{l \in L} (\sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{j \in J_l} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j))) = \sum_{l \in L} (\sum_{j \in J_l} (1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)))\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題によって、\(= \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} s (j)\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} s_j = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J_l} s_j\)。
