\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）およびドメイン（定義域）のパーティション（分割）たちに対して、部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシリーズ（級数）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）に対して、シリーズ（級数）たちで順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{J_1 \subseteq \mathbb{N}, ..., J_k \subseteq \mathbb{N}\}\):
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: J_1 \times ... \times J_k \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j_1 \in J_1} ... \sum_{j_k \in J_k} \vert s (j_1, ..., j_k) \vert = r' \in \mathbb{R}\)
\(\{J'_l \subseteq J_1 \times ... \times J_k \vert l \in L\}\): \(\in \{J_1 \times ... \times J_k \text{ の全てのパーティション（分割）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{l \in L} \sum_{j \in J'_l} s (j) = \sum_{j_1 \in J_1} ... \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_k) \in \mathbb{R}\)
//
\(J'_l\)たちおよび\(L\)は不可避にカウンタブル（可算）であり、\(J'_l\)たちおよび\(L\)はいかなるように順序付けされてもよい。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のバイジェクション（全単射）\(f: J \subseteq \mathbb{N} \to J_1 \times ... \times J_k\)および\(s \circ f: J \to \mathbb{R}\)を取る; ステップ2: \(\{f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k) \vert (j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}\}\)は\(J\)のあるパーティション（分割）であることを見る; ステップ3: \(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{j_1 \in J_1} ... \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_k)\)であることを見る; ステップ4: \(\{f^{-1} (J'_l) \vert l \in L\}\)は\(J\)のあるパーティション（分割）であることを見る; ステップ5: \(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in f^{-1} (J'_l)} s \circ f (j) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J'_l} s (j)\)であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のバイジェクション（全単射）\(f: J \subseteq \mathbb{N} \to J_1 \times ... \times J_k\)を取ろう、それは、可能である、なぜなら、\(J_1 \times ... \times J_k\)は、カウンタブルセット（可算集合）たちのあるファイナイト（有限）プロダクトとしてカウンタブル（可算）である、よく知られているとおり: 例えば、\(0 \mapsto ({J_1}_1, ..., {J_k}_1)\)、\(1 \mapsto ({J_1}_2, {J_2}_1, ..., {J_k}_1)\)、\(2 \mapsto ({J_1}_1, {J_2}_2, {J_3}_1, ..., {J_k}_1)\)、... （第1に、\(j_1 + ... + j_k = k\)であるコンビネーションをカバーし、第2に、\(j_1 + ... + j_k = k + 1\)であるコンビネーションたちをカバーし、第3に、\(j_1 + ... + j_k = k + 2\)であるコンビネーションたちをカバーし、...、等々と続く）で良い。
\(s \circ f: J \to \mathbb{R}\)のことを考えよう。
ステップ2:
\(\{\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k \vert (j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}\}\)は\(J_1 \times ... \times J_k\)のあるパーティション（分割）である。
したがって、\(\{f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k) \vert (j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}\}\)は\(J\)のあるパーティション（分割）である、なぜなら、\(f\)はあるバイジェクション（全単射）である。
ステップ3:
\(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{(j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}} \sum_{j \in f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k)} s \circ f (j)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって: \(\sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) \vert \le r'\)、なぜなら、各先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(J^` \subseteq J\)に対して、以下を満たす何らかの先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）たち\({J_1}^` \subseteq J_1, ..., {J_k}^` \subseteq J_k\)、つまり、\(J^` \subseteq {J_1}^` \times ... \times {J_k}^`\)、がある、そして、\(\sum_{j \in J^`} \vert s \circ f (j) \vert \le \sum_{j_1 \in {J_1}^`} ... \sum_{j_k \in {J_k}^`} \vert s (j_1, ... j_k) \vert \le r'\)。
しかし、\(\sum_{j \in f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k)} s \circ f (j) = \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k)\)、なぜなら、\(f \vert_{f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k)}: f^{-1} (\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k) \to \{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 1}\} \times J_k\)はあるバイジェクション（全単射）であり\(s \circ f (j) = s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k)\)、そして、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）に対して、シリーズ（級数）たちで順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題が適用される: \(\sum_{j_k \in J_k} \vert s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k) \vert\)はコンバージ（収束）する。
したがって、\(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{(j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}} \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k)\)。
\(= \sum_{(j_1, ... j_{k - 2}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 2}} \sum_{j_{k - 1} \in J_{k - 1}} \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_{k - 2}, j_{k - 1}, j_k)\)、なぜなら、\(\{\{j_1\} \times ... \times \{j_{k - 2}\} \times J_{k - 1} \vert (j_1, ..., j_{k - 2}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 2}\}\)は\(J_1 \times ... \times J_{k - 1}\)のあるパーティション（分割）であり、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題が適用される: \(\sum_{(j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}} \vert \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k) \vert \le \sum_{(j_1, ... j_{k - 1}) \in J_1 \times ... \times J_{k - 1}} \sum_{j_k \in J_k} \vert s (j_1, ..., j_{k - 1}, j_k) \vert \le r'\)、なぜなら、各先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(J^` \subseteq J_1 \times ... \times J_{k - 1}\)に対して、以下を満たす何らかの先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）たち\({J_1}^` \subseteq J_1, ..., {J_{k - 1}}^` \subseteq J_{k - 1}\)、つまり、\(J^` \subseteq {J_1}^` \times ... \times {J_{k - 1}}^`\)、があり、\(\sum_{j \in J^`} \sum_{j_k \in J_k} \vert s (j, j_k) \vert \le \sum_{j_1 \in {J_1}^`} ... \sum_{j_{k - 1} \in {J_{k - 1}}^`} \sum_{j_k \in J_k} \vert s (j, j_k) \vert \le r'\)。
等々と続く、結局、\(= \sum_{j_1 \in J_1} ... \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_k)\)。
ステップ4:
\(\{f^{-1} (J'_l) \vert l \in L\}\)は\(J\)のあるパーティション（分割）である、なぜなら、\(f\)はあるバイジェクション（全単射）である。
ステップ5:
\(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in f^{-1} (J'_l)} s \circ f (j)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって。
\(= \sum_{l \in L} \sum_{j \in J'_l} s (j)\)、なぜなら、\(f \vert_{f^{-1} (J'_l)}: f^{-1} (J'_l) \to J'_l\)はあるバイジェクション（全単射）であり、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）に対して、シリーズ（級数）たちで順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題が適用される: \(\sum_{j \in f^{-1} (J'_l)} \vert s \circ f (j) \vert \le \sum_{l \in L} \sum_{j \in f^{-1} (J'_l)} \vert s \circ f (j) \vert = \sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) \vert \le r'\)。
ステップ6:
ステップ3およびステップ5によって、\(\sum_{j_1 \in J_1} ... \sum_{j_k \in J_k} s (j_1, ..., j_k) = \sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{l \in L} \sum_{j \in J'_l} s (j)\)。
