ファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素サブベーシス（基底）たちのプロダクトはサブベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素サブベーシス（基底）たちのプロダクトはあるサブベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\{S_j \in \{T_j \text{ に対する全てのサブベーシス（基底）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(S\): \(= \{\times_{j \in J} s_j \vert s_j \in S_j\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\times_{j \in J} T_j \text{ に対する全てのサブベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 注
それは、あるファイナイト（有限）-プロダクトである必要がある、なぜなら、これは、任意のファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ベーシス（基底）たちのプロダクトはあるベーシス（基底）であるという命題に基づいている。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)は、あるサブベーシス（基底）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、\(B_j\)を、\(S_j\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）としよう、それは、\(T_j\)に対するあるベーシス（基底）である、トポロジカルスペース（空間）に対するサブベーシス（基底）の定義によって。
\(B := \{\times_{j \in J} b_j \vert b_j \in B_j\}\)は\(\times_{j \in J} T_j\)に対するあるベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ベーシス（基底）たちのプロダクトはあるベーシス（基底）であるという命題によって。
\(S\)の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）\(\times_{j \in J} s_{1, j} \cap ... \cap \times_{j \in J} s_{n, j}\)のことを考えよう。
\(\times_{j \in J} s_{1, j} \cap ... \cap \times_{j \in J} s_{n, j} = \times_{j \in J} (s_{1, j} \cap ... \cap s_{n, j})\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって。
各\(j \in J\)に対して、\(s_{1, j} \cap ... \cap s_{n, j}\)は\(B_j\)のある要素である。
したがって、\(\times_{j \in J} (s_{1, j} \cap ... \cap s_{n, j}) \in B\)。
それが意味するのは、\(S\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）は\(B\)内に包含されているということ。
\(J = \{1, ..., m\}\)としよう、一般性を失わなうことなく、表現たちの便宜のためだけに。
\(B\)の各要素は\((s_{1, 1} \cap ... \cap s_{n_1, 1}) \times ... \times (s_{1, m} \cap ... \cap s_{n_m, m})\)である。
\(n := Max (\{n_1, ..., n_m\})\)を取ろう。
各\(j \in J\)に対して、もしも、\(n_j \lt n\)である場合、\(s_{n_j + 1, j} = ... = s_{n, j} = s_{n_j, j}\)としよう。
すると、\((s_{1, 1} \cap ... \cap s_{n_1, 1}) \times ... \times (s_{1, m} \cap ... \cap s_{n_m, m}) = (s_{1, 1} \cap ... \cap s_{n, 1}) \times ... \times (s_{1, m} \cap ... \cap s_{n, m})\)。
\(= \times_{j \in J} s_{1, j} \cap ... \cap \times_{j \in J} s_{n, j}\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって、それは、\(S\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）のある要素である。
それが意味するのは、\(B\)は、\(S\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）内に包含されていること。
したがって、\(S\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）は\(B\)、あるベーシス（基底）、に他ならない。
したがって、\(S\)は\(\times_{j \in J} T_j\)に対するあるサブベーシス（基底）である。
