コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\subseteq T'\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす、各\(t \in T\)および各\(C \subseteq T\)、つまり、\(t \notin C\)、に対して、以下を満たす\(C' \subseteq T'\)、つまり、\(C = C' \cap T\)、を取り、以下を満たす\(f': T' \to [0, 1]\)、つまり、\(f' (t) = 0\)および\(f' (C') = \{1\}\)、を取り、\(f := f' \vert_T\)で良いことを見る。
ステップ1:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、\(t \notin C\)を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(C = C' \cap T\)、あるクローズド（閉）\(C' \subseteq T'\)に対して、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(t \in T'\)であるところ、\(t \notin C'\)、なぜなら、もしも、\(t \in C'\)である場合、\(t \in C' \cap T = C\)、矛盾。
\(T'\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるから、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(f': T' \to [0, 1]\)、つまり、\(f' (t) = 0\)および\(f' (C') = \{1\}\)、がある。
\(f := f' \vert_T = T \to [0, 1]\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f (t) = 0\)。
\(f (C) = \{1\}\)、なぜなら、\(C \subseteq C'\)および\(f (C) = f' (C)\)。
したがって、\(T\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）である。
