プロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、インデックス付けされたセット（集合）のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナスインデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナスインデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）のイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックス付けされたセット（集合）の任意のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{a_j \in A\}_{j \in J}\), \(\in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(J^`\): \(\in \{\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち } J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(1 - \mu (\cup_{j \in J^`} a_j) = \prod_{j \in J^`} (1 - \mu (a_j))\)
//
2: 証明
全体戦略: \(\vert J^` \vert\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを、\(\vert J^` \vert = 2\)である時に対して証明する; ステップ2: それが、\(\vert J^` \vert \in \{1, ..., n' - 1\}\)である時に成立すると仮定し、それが、\(\vert J^` \vert = n'\)である時に成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\vert J^` \vert = 1\)である時は、それは、明らかに成立する。
\(\vert J^` \vert = 2\)であると仮定しよう。
\(J^` = \{j_1, j_2\}\)としよう。
\(1 - \mu (a_{j_1} \cup a_{j_2}) = 1 - (\mu (a_{j_1}) + \mu (a_{j_2}) - \mu (a_{j_1} \cap a_{j_2}))\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって。
\(= 1 - \mu (a_{j_1}) - \mu (a_{j_2}) + \mu (a_{j_1}) \mu (a_{j_2})\)、なぜなら、\(S\)はインディペンデント（独立）である。
\(= 1 - \mu (a_{j_1}) - \mu (a_{j_2}) (1 - \mu (a_{j_1})) = (1 - \mu (a_{j_1})) (1 - \mu (a_{j_2}))\)。
したがって、それは、\(\vert J^` \vert = 2\)である時、成立する。
ステップ2:
それは、\(\vert J^` \vert \in \{1, ..., n' - 1\}\)、ここで、\(3 \le n'\)、である時、成立すると仮定しよう。
\(\vert J^` \vert = n'\)としよう。
\(J^` = \{j_1, ..., j_{n'}\}\)としよう。
\(1 - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n'}}) = 1 - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}} \cup a_{j_{n'}}) = 1 - (\mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) + \mu (a_{j_{n'}}) - \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n'}}))\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって。
\(\mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n'}}) = \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \mu (a_{j_{n'}})\)、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題によって。
したがって、\(= 1 - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) - \mu (a_{j_{n'}}) + \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \mu (a_{j_{n'}}) = 1 - \mu (a_{j_{n'}}) - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) (1 - \mu (a_{j_{n'}})) = (1 - \mu (a_{j_{n'}})) (1 - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}})) = (1 - \mu (a_{j_{n'}})) (1 - \mu (a_{j_1})) ... (1 - \mu (a_{j_{n' - 1}}))\)、当該インダクション（帰納）仮説によって、\(= (1 - \mu (a_{j_1})) ... (1 - \mu (a_{j_{n'}}))\)。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、本命題は成立する、各\(\vert J^` \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。
