プロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測定可能）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）のイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{a_j \in A\}_{j \in J}\), \(\in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合） }\}\)
\(J^`\): \(\in \{J \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\widetilde{S}\): \(= \{\cup_{j \in J^`} a_j\} \cup \{a_j \in S \vert j \in J \setminus J^`\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{S} \in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
2: 注
本命題を回帰的に適用することによって、\(\{\cup_{j \in J_1} a_j, ..., \cup_{j \in J_n} a_j\} \cup \{a_j \in S \vert j \in J \setminus (J_1 \cup ... \cup J_n)\}\)、ここで、\(\{J_l \subseteq J \vert l \in \{1, ..., n\}\}\)は何らかのディスジョイント（互いに素）（ディスジョイント（互いに素）であることが肝要である）ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）である、はインディペンデント（独立）である: \(\{\cup_{j \in J_1} a_j\} \cup \{a_j \in S \vert j \in J \setminus (J_1)\}\)はインディペンデント（独立）であるから、\(\{\cup_{j \in J_1} a_j, \cup_{j \in J_2} a_j\} \cup \{a_j \in S \vert j \in (J \setminus (J_1)) \setminus J_2 = J \setminus (J_1 \cup J_2)\}\)はインディペンデント（独立）である、等々と続く。
3: 証明
全体戦略: \(\vert J^` \vert\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを、\(\vert J^` \vert = 2\)である時に証明する; ステップ2: それが、\(\vert J^` \vert \in \{1, ..., n' - 1\}\)である時に成立すると仮定し、それを、\(\vert J^` \vert = n'\)である時に対して証明する。
ステップ1:
それは、\(\vert J^` \vert = 1\)である時には成立する、明らかに、なぜなら、\(\widetilde{S} = S\)。
\(\vert J^` \vert = 2\)であると仮定しよう。
\(J^` = \{j_1, j_2\}\)であるとしよう。
\(\widetilde{S}\)のインデックスセット（集合）は\(\{J^`\} \cup (J \setminus J^`)\)である。
当該インデックスセット（集合）の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は、\(J^`\)を含むかもしれないし含まないかもしれない。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）が\(J^`\)を含まない時は、インディペンデント（独立）であるためのコンディションは満たされる、なぜなら、それは、\(S\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）である。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は\(J^`\)を含むと仮定しよう。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）を\(\{J^`, j_3, ..., j_m\}\)としよう。
\(\mu ((a_{j_1} \cup a_{j_2}) \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) = \mu (a_{j_1} \cup a_{j_2}) \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m})\)であることを見よう。
\(\mu ((a_{j_1} \cup a_{j_2}) \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) = \mu ((a_{j_1} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) \cup (a_{j_2} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(= \mu (a_{j_1} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) + \mu (a_{j_2} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) - \mu ((a_{j_1} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) \cap (a_{j_2} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}))\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって、\(= \mu (a_{j_1} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) + \mu (a_{j_2} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m}) - \mu (a_{j_1} \cap a_{j_2} \cap a_{j_3} \cap ... \cap a_{j_m})\)。
\(= \mu (a_{j_1}) \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m}) + \mu (a_{j_2}) \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m}) - \mu (a_{j_1}) \mu (a_{j_2}) \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m})\)、なぜなら、\(S\)はインディペンデント（独立）である。
\(= \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m}) (\mu (a_{j_1}) + \mu (a_{j_2}) - \mu (a_{j_1}) \mu (a_{j_2})) = \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m}) (\mu (a_{j_1}) + \mu (a_{j_2}) - \mu (a_{j_1} \cap a_{j_2}))\)、なぜなら、\(S\)はインディペンデント（独立）である、\(= \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m}) \mu (a_{j_1} \cup a_{j_2})\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって、\(= \mu (a_{j_1} \cup a_{j_2}) \mu (a_{j_3}) ... \mu (a_{j_m})\)。
したがって、\(\widetilde{S}\)はインディペンデント（独立）である。
ステップ2:
それが\(\vert J^` \vert \in \{1, ..., n' - 1\}\)、ここで、\(3 \le n'\)、である時に成立すると仮定しよう。
\(\vert J^` \vert = n'\)であると仮定しよう。
\(J^` = \{j_1, ..., j_{n'}\}\)としよう。
\(\widetilde{S}\)のインデックスセット（集合）は、\(\{J^`\} \cup (J \setminus J^`)\)である。
当該インデックスセット（集合）の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は、\(J^`\)を含むかもしれないし含まないかもしれない。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）が\(J^`\)を含まない時は、インディペンデント（独立）であるためのコンディションは満たされる、なぜなら、それは\(S\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）である。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は\(J^`\)を含むと仮定しよう。
当該ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）を\(\{J^`, j_{n' + 1}, ..., j_m\}\)としよう。
\(\mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n'}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) = \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n'}}) \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m})\)であることを見よう。
\(\mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n'}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) = \mu (((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) \cup (a_{j_{n'}} \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(= \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) + \mu (a_{j_{n'}} \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) - \mu (((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) \cap (a_{j_{n'}} \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}))\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって、\(= \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) + \mu (a_{j_{n'}} \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m}) - \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n'}} \cap a_{j_{n' + 1}} \cap ... \cap a_{j_m})\)。
\(= \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) + \mu (a_{j_{n'}}) \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \mu (a_{j_{n'}}) \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m})\)、当該インダクション（帰納）仮定によって。
\(= \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) (\mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) + \mu (a_{j_{n'}}) - \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \mu (a_{j_{n'}})) = \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) (\mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) + \mu (a_{j_{n'}}) - \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cap a_{j_{n'}}))\)、当該インダクション（帰納）仮定によって、\(= \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) \mu ((a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}}) \cup a_{j_{n'}})\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題によって、\(= \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m}) \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}} \cup a_{j_{n'}}) = \mu (a_{j_1} \cup ... \cup a_{j_{n' - 1}} \cup a_{j_{n'}}) \mu (a_{j_{n' + 1}}) ... \mu (a_{j_m})\)。
したがって、\(\widetilde{S}\)はインディペンデント（独立）である。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、本命題は成立する、各\(\vert J^` \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。
