プロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）のイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるを認めている。
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックス付けされたセット（集合）の任意のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{a_j \in A\}_{j \in J}\), \(\in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\widetilde{S}\): \(= \{M \setminus a_j \in A \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{S} \in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ0: \(J^` \subseteq J\)を任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）とする; ステップ1: \(\mu (\cap_{j \in J^`} (M \setminus a_j)) = 1 - \mu (\cup_{j \in J^`} a_j)\)であることを見る; ステップ2: \(\prod_{j \in J^`} \mu (M \setminus a_j) = \prod_{j \in J^`} (1 - \mu (a_j))\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ0:
\(J^` \subseteq J\)を任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）としよう。
本命題は、\(\mu (\cap_{j \in J^`} (M \setminus a_j)) = \prod_{j \in J^`} \mu (M \setminus a_j)\)という問題である、それを、見よう。
ステップ1:
\(\mu (\cap_{j \in J^`} (M \setminus a_j)) = \mu (M \setminus \cup_{j \in J^`} a_j)\)、サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるによって、\(= \mu (M) - \mu (\cup_{j \in J^`} a_j) = 1 - \mu (\cup_{j \in J^`} a_j)\)。
ステップ2:
\(\prod_{j \in J^`} \mu (M \setminus a_j) = \prod_{j \in J^`} (\mu (M) - \mu (a_j)) = \prod_{j \in J^`} (1 - \mu (a_j))\)。
ステップ3:
任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックス付けされたセット（集合）の任意のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであるという命題によって、\(1 - \mu (\cup_{j \in J^`} a_j) = \prod_{j \in J^`} (1 - \mu (a_j))\)、したがって、\(\mu (\cap_{j \in J^`} (M \setminus a_j)) = \prod_{j \in J^`} \mu (M \setminus a_j)\)。
したがって、\(\widetilde{S}\)はインディペンデント（独立）である。
