\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）に対して、もしも、シーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、先行する要素たちの算術平均たちのシーケンス（列）は、コンバージェンス（収束ポイント）を持ってコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のシーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、先行する要素たちの算術平均たちのシーケンス（列）は、当該コンバージェンス（収束ポイント）を持ってコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)
\(s'\): \(: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} s (j) / (n + 1)\)
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(lim s = r\)
\(\implies\)
\(lim s' = r\)
//
2: 注
実のところ、任意の\(m \in \mathbb{N}\)に対して、\(s'': \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} s (j) / (n + m)\)は\(r\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、\(s'' (n) = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} s (j) / (n + m) = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} s (j) / (n + 1) (n + 1) / (n + m) = s' (n) (n + 1) / (n + m)\)、そして、\((n + 1) / (n + m)\)は\(1\)へコンバージ（収束）する、したがって、\(s''\)は\(r 1 = r\)へコンバージ（収束）する。
本命題の逆は、必ずしも成立しない: ある反例として、各偶\(j\)に対して\(s (j) = 1\)および各奇\(j\)に対して\(s (j) = -1\)としよう、すると、各偶\(j\)に対して\(s' (j) = 1 / (j + 1)\)および各奇\(j\)に対して\(s' (j) = 0\)、したがって、\(s' (j) \lt 1 / (2 (j + 1))\)、各\(j\)に対して、したがって、\(s'\)は\(0\)へコンバージ（収束）する、しかし、\(s\)はコンバージ（収束）しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすある\(N_1\)、つまり、各\(N_1 \lt j\)に対して、\(\vert s (j) - r \vert \lt \epsilon / 2\)、および以下を満たすある\(N_2\)、つまり、\(N_1 \lt N_2\)および各\(N_2 \lt l\)に対して、\(1 / (l + 1) \sum_{j \in \{0, ..., N_1\}} \vert s (j) - r \vert \lt \epsilon / 2\)、を取り、各\(N_2 \lt l\)に対して、\(\vert s' (l) - r \vert \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert s (j) - r \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、なぜなら、\(s\)は\(r\)へコンバージ（収束）する。
以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt N_2\)および\(N_2 \lt l\)を満たす各\(l \in \mathbb{N}\)に対して、\(1 / (l + 1) \sum_{j \in \{0, ..., N_1\}} \vert s (j) - r \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、なぜなら、\(\sum_{j \in \{0, ..., N_1\}} \vert s (j) - r \vert\)は固定されているから、\(l\)をより大きくすると、それを任意に小さくする。
各\(N_2 \lt l\)に対して、\(\vert s' (l) - r \vert = \vert \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s (j) / (l + 1) - r \vert = \vert \sum_{j \in \{0, ..., l\}} (s (j) / (l + 1) - r / (l + 1)) \vert = 1 / (l + 1) \vert \sum_{j \in \{0, ..., l\}} (s (j) - r) \vert \le 1 / (l + 1) (\sum_{j \in \{0, ..., N_1\}} \vert s (j) - r \vert + \sum_{j \in \{N_1 + 1, ..., l\}} \vert s (j) - r \vert) = 1 / (l + 1) \sum_{j \in \{0, ..., N_1\}} \vert s (j) - r \vert + 1 / (l + 1) \sum_{j \in \{N_1 + 1, ..., l\}} \vert s (j) - r \vert \lt \epsilon / 2 + 1 / (l + 1) \sum_{j \in \{N_1 + 1, ..., l\}} \epsilon / 2 = \epsilon / 2 + 1 / (l + 1) (l - N_1) \epsilon / 2 \lt \epsilon / 2 + 1 / (l + 1) (l + 1) \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、\(lim s' = r\)。
