\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への非ネガティブ（負）メジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、マップ（写像）の後にフロワーマップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、フロワーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、フロワーマップ（写像）で当該コドメイン（余域）を\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）に拡張されたものはメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意の非ネガティブ（負）メジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、当該マップ（写像）の後にフロワーマップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\([0, \infty)\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(f\): \(: M_1 \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(0 \le f\)
\(f'\): \(: M_1 \to [0, \infty)\), \(= f \text{ の当該コドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
\(fl\): \(: [0, \infty) \to \mathbb{N}\)
\(fl'\): \(: [0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(= fl \text{ の当該コドメイン（余域）エクステンション（拡張） }\)
\(fl' \circ f'\): \(: M_1 \to \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(fl' \circ f' \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 注
緩く言うと、\(fl' \circ f'\)は\(fl \circ f\)である、しかし、私たちは、公式には\(f'\)および\(fl'\)を必要とする、なぜなら、\(fl \circ f\)は意味をなさない、厳密に言うと、なぜなら、任意のコンポジション（合成）は、あるマップ（写像）のコドメイン（余域）が引き続くマップ（写像）のドメイン（定義域）内に包含されている時にのみ許されるし、\(fl \circ f'\)は\(: M \to \mathbb{N}\)である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ2: \(fl'\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
ステップ2:
\(fl'\)はメジャラブル（測定可能）である、フロワーマップ（写像）で当該コドメイン（余域）を\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）に拡張されたものはメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
ステップ3:
\(fl' \circ f'\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
