トポロジカルサムに対して、構成要素はトポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサムの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサムに対して、各構成要素は当該トポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\coprod_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該トポロジカルサム }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (T_j \in \{\coprod_{j \in J} T_j \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(S \subseteq T_j\)はオープン（開）である、もしも、\(S\)はあるオープン（開）\(U' \subseteq \coprod_{j \in J} T_j\)と\(T_j\)のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、であることを見る。
ステップ1:
\(S \subseteq T_j\)を任意のものとしよう。
\(S\)はオープン（開）であると仮定しよう。
\(U' := S \subseteq \coprod_{j \in J} T_j\)を取ろう。
\(U'\)はオープン（開）である、なぜなら、\(U' \cap T_j = S \subseteq T_j\)はオープン（開）である、そして、\(U' \cap T_l = \emptyset \subseteq T_l\)、各\(l \in J \setminus \{j\}\)に対して、はオープン（開）、トポロジカルサムの定義によって。
\(S = U' \cap T_j\)。
したがって、\(T_j\)の各サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それは\(\coprod_{j \in J} T_j\)のあるオープン（開）サブセット（部分集合）と\(T_j\)のインターセクション（共通集合）である場合に限って。
\(U' \subseteq \coprod_{j \in J} T_j\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U' \cap T_j \subseteq T_j\)はオープン（開）である、トポロジカルサムの定義によって。
したがって、\(T_j\)はオープン（開）である、もしも、それは\(\coprod_{j \in J} T_j\)のあるオープン（開）サブセット（部分集合）と\(T_j\)のインターセクション（共通集合）である場合。
したがって、\(T_j\)の各サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それは\(\coprod_{j \in J} T_j\)のあるオープン（開）サブセット（部分集合）と\(T_j\)のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って。
それが意味するのは、\(T_j\)は\(\coprod_{j \in J} T_j\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であること。
