アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）が非空でアタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）がコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサムに対して、各構成要素は当該トポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアジャンクショントポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）が非空でアタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）がコネクテッド（連結された）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T_1\)で、\(S \neq \emptyset\)を満たすもの
\(f\): \(: S \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(T_1 + T_2\): \(= \text{ 当該トポロジカルサム }\)
\(T_2 \cup_f T_1\): \(= \text{ 当該アジャンクショントポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T_2 \cup_f T_1 \in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g \vert_{T_1}: T_1 \to T_2 \cup_f T_1\)および\(g \vert_{T_2}: T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: \(T_2 \cup_f T_1\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する; ステップ3: ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(g: T_1 + T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)を、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義内で定義されたものとしよう。
\(g\)はコンティニュアス（連続）である: \(T_2 \cup_f T_1\)のトポロジーは、\(g\)をコンティニュアス（連続）とするように定義されている。
\(T_1\)は\(T_1 + T_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサムに対して、各構成要素は当該トポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって; \(T_2\)は\(T_1 + T_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、同様に。
\(g \vert_{T_1}: T_1 \to T_2 \cup_f T_1\)および\(g \vert_{T_2}: T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(T_2 \cup_f T_1\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。
Step 3: ステップ3:
\(T_2 \cup_f T_1 = U_1 \cup U_2\)、ここで、\(U_j \subseteq T_2 \cup_f T_1\)は非空オープン（開）であり、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)であることになる。
\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_1 \cup U_2) = {g \vert_{T_1}}^{-1} (U_1) \cup {g \vert_{T_1}}^{-1} (U_2) = T_1\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題および任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって。
\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_1) \cap {g \vert_{T_1}}^{-1} (U_2) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
\(g \vert_{T_1}\)はコンティニュアス（連続）だったから、\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_j)\)は\(T_1\)上でオープン（開）であることになる。
もしも、\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_1) \neq \emptyset\)および\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_2) \neq \emptyset\)だったら、\(T_1\)がコネクテッド（連結された）であったことに反する矛盾になる。
\({g \vert_{T_1}}^{-1} (U_2) = \emptyset\)であったと仮定しよう、一般性を失うことなく。
すると、\({g \vert_{T_2}}^{-1} (U_2) \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(g^{-1} (U_2) = \emptyset\)、\(g\)があるサージェクション（全射）であり\(U_2 \neq \emptyset\)であったことに反する矛盾。
\({g \vert_{T_2}}^{-1} (U_1 \cup U_2) = {g \vert_{T_2}}^{-1} (U_1) \cup {g \vert_{T_2}}^{-1} (U_2) = T_2\)、前と同様。
\({g \vert_{T_2}}^{-1} (U_1) \cap {g \vert_{T_2}}^{-1} (U_2) = \emptyset\)、前と同様。
\({g \vert_{T_2}}^{-1} (U_j)\)は\(T_2\)上でオープン（開）だということになる、前と同様。
\({g \vert_{T_2}}^{-1} (U_1) \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(U_1 \subseteq g \vert_{T_1} (T_1 \setminus S)\)、なぜなら、各\(u_1 \in U_1\)に対して、\(u_1 \in g \vert_{T_1} (T_1)\)であった、それが意味することになるのは、\(u_1 = g \vert_{T_1} (t_1)\)、ある\(t_1 \in T_1\)に対して、ところ、\(t_1 \notin S\)、なぜなら、そうでなければ、\(u_1 = g \vert_{T_1} (t_1) = g (f (t_1)) = g \vert_{T_2} (f (t_1))\)、矛盾、そして、\(U_2 \subseteq g \vert_{T_2} (T_2 \setminus f (S))\)、なぜなら、各\(u_2 \in U_2\)に対して、\(u_2 \in g \vert_{T_2} (T_2)\)、それが意味することになるのは、\(u_2 = g \vert_{T_2} (t_2)\)、ある\(t_2 \in T_2\)に対して、であったところ、」\(t_2 \notin f (S)\)、なぜなら、そうでなければ、\(t_2 = f (s)\)、ある\(s \in S\)に対して、そして、\(u_2 = g \vert_{T_2} (t_2) = g (f (s)) = g \vert_{T_1} (s)\)、矛盾、すると、\(g (S)\)、非空、\(S\)は非空であるから、は、\(U_1 \cup U_2\)からディスジョイント（互いに素）であることになる、なぜなら、各\(g (s) \in g (S)\)に対して、\(g (s) \notin g \vert_{T_1} (T_1 \setminus S)\)、なぜなら、もしも、ある\(t_1 \in T_1\)に対して\(g (s) = g (t_1)\)であったら、\(s = t_1\)または\(f (s) = f (t_1)\)が必要であった、それが意味することになるのは、\(t_1 \in S\)、そして、\(g (s) \notin g \vert_{T_2} (T_2 \setminus f (S))\)、なぜなら、もしも、\(g (s) = g (t_2)\)、ある\(t_2 \in T_2\)に対して、であった場合、\(f (s) = t_2\)が必要であった、それが意味することになるのは、\(t_2 \in f (S)\)、矛盾。
それは、\(T_2\)がコネクテッド（連結された）であったことに反する矛盾。
したがって、\(T_2 \cup_f T_1\)はコネクテッド（連結された）である。
