ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はハウスドルフであることを見る; ステップ2: 各\(t \in T\)および以下を満たす各クローズド（閉）\(C\)、つまり、\(t \notin C\)、に対して、\(\{t\} \subseteq T \setminus C\)を取り、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題によって。
ステップ1:
\(T\)はレギュラー（正則）である、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題によって。
\(T\)はハウスドルフである、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題によって。
ステップ2:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、\(t \notin C\)を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(\{t\} \subseteq T\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）である、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義によって。
\(\{t\} \subseteq T \setminus C\)、ここで、\(T \setminus C \subseteq T\)はオープン（開）、である。
任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題によって、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (\{t\}) = \{0\}\)および\(f (T \setminus (T \setminus C)) = \{1\}\)、がある。
しかし、\(f (t) = 0\)および\(f (C) = f (T \setminus (T \setminus C)) = \{1\}\)。
したがって、\(T\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）である。
