ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はレギュラー（正則）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
ステップ1:
\(\forall t \in T (\{t\} \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\})\)は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義によって直接に要求されている。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、\(t \notin C\)を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(\{t\} \subseteq T\)はクローズド（閉）である。
\(\{t\} \cap C = \emptyset\)。
以下を満たす、\(\{t\}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\{t\}} \subseteq T\)および\(C\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_C \subseteq T\)、つまり、\(U_{\{t\}} \cap U_C = \emptyset\)、がある。
しかし、\(U_{\{t\}}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、\(T\)はレギュラー（正則）である。
