コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はレギュラー（正則）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(T\)は定義によってハウスドルフであるところ、\(\forall t \in T (\{t\} \in \{\text{ the closed subsets of } T\})\)、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、つまり、\(t \notin C\)、としよう。
以下を満たすあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (t) = 0\)および\(f (C) = \{1\}\)、がある。
以下を満たす、\(0\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{0, 1 / 4} \subseteq [0, 1]\)および\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{1, 1 / 4} \subseteq [0, 1]\)、つまり、\(B_{0, 1 / 4} \cap B_{1, 1 / 4} = \emptyset\)、がある。
\(f^{-1} (B_{0, 1 / 4}) \subseteq T\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(f^{-1} (B_{1, 1 / 4}) \subseteq T\)は\(C\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）であり\(f (t) = 0\)および\(f (C) = \{1\}\)。
\(f^{-1} (B_{0, 1 / 4}) \cap f^{-1} (B_{1, 1 / 4}) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
したがって、\(T\)はレギュラー（正則）である。
