レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)は、ハウスドルフであるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(t_1, t_2 \in T\)を、\(t_1 \neq t_2\)を満たす任意のものとしよう。
\(\{t_2\} \subseteq T\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）である。
\(t_1 \notin \{t_2\}\)。
したがって、以下を満たす、\(t_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T\)および\(\{t_2\}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\{t_2\}} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t_1} \cap U_{\{t_2\}} = \emptyset\)、がある。
しかし、\(U_{\{t_2\}}\)は\(t_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、\(T\)はハウスドルフである。
