メトリックスペース（計量付き空間）からユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、そのノルムマップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）間のユニフォーム（一様）にコンティニュアスマップ（連続写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）から任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、そのノルムマップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(f\): \(: M \to \mathbb{R}^d \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(\Vert f \Vert\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto \Vert f (m) \Vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert f \Vert \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(d = 1\)である時は、\(\Vert f \Vert = \vert f \vert\)、絶対値マップ（写像）。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\vert \Vert f \Vert (m') - \Vert f \Vert (m) \vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert\)であることを見る; ステップ2: \(\Vert f \Vert (B_{m, \delta}) \subseteq B_{\Vert f \Vert (m), \epsilon}\)、\(m\)に独立に、であることを見る。
ステップ1:
\(m, m' \in M\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (m') \Vert = \Vert f (m') - f (m) + f (m) \Vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert + \Vert f (m) \Vert\)、ノルムのプロパティによって。
したがって、\(\Vert f (m') \Vert - \Vert f (m) \Vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert\)。
対称性により、\(\Vert f (m) \Vert - \Vert f (m') \Vert \le \Vert f (m) - f (m') \Vert = \Vert f (m') - f (m) \Vert\)。
\(\vert \Vert f (m') \Vert - \Vert f (m) \Vert \vert = \Vert f (m') \Vert - \Vert f (m) \Vert \text{ or } \Vert f (m) \Vert - \Vert f (m') \Vert\)であるから、\(\vert \Vert f (m') \Vert - \Vert f (m) \Vert \vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert\)。
したがって、\(\vert \Vert f \Vert (m') - \Vert f \Vert (m) \vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert\)。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)で各\(m \in M\)に対して、\(f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(f\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(m' \in B_{m, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(\vert \Vert f \Vert (m') - \Vert f \Vert (m) \vert \le \Vert f (m') - f (m) \Vert \lt \epsilon\)、ステップ1によって。
それが意味するのは、\(\Vert f \Vert (B_{m, \delta}) \subseteq B_{\Vert f \Vert (m), \epsilon}\)。
\(\delta\)は\(m\)に独立して決定されているので、\(\Vert f \Vert\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
