同一メトリックスペース（計量付き空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのファイナイト（有限）数のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マキシマム（最大）またはミニマム（最小）マップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）間のユニフォーム（一様）にコンティニュアスマップ（連続写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）から任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、そのノルムマップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一メトリックスペース（計量付き空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのファイナイト（有限）数の任意のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マキシマム（最大）またはミニマム（最小）マップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M \to \mathbb{R} \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(Max (\{f_1, ..., f_n\})\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Max (\{f_1 (m), ..., f_n (m)\})\)
\(Min (\{f_1, ..., f_n\})\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Min (\{f_1 (m), ..., f_n (m)\})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Max (\{f_1, ..., f_n\}) \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(Min (\{f_1, ..., f_n\}) \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: \(n = 1\)であるケースに対処する; ステップ2: \(n = 2\)である時、\(Max (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)および\(Min (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)であることを見、本命題を\(n = 2\)である時に結論する; ステップ3: それが\(n = n' - 1\)である時に成立すると仮定し、それが\(n = n'\)である時に成立することを見る。
ステップ1:
それは、\(n = 1\)である時には成立する、なぜなら、\(Max (\{f_1\}) = f_1\)および\(Min (\{f_1\}) = f_1\)。
ステップ2:
\(n = 2\)であると仮定しよう。
\(Max (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)、なぜなら、各\(m \in M\)に対して、\(f_1 (m) \le f_2 (m)\)または\(f_2 (m) \lt f_1 (m)\)、そして、\(f_1 (m) \le f_2 (m)\)である時は、\(Max (\{f_1, f_2\}) (m) = f_2 (m)\)、その一方で、\(1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert) (m) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) + \vert f_1 (m) - f_2 (m) \vert) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) + f_2 (m) - f_1 (m)) = 1 / 2 (f_2 (m) + f_2 (m)) = 1 / 2 2 f_2 (m) = f_2 (m)\); そして、\(f_2 (m) \lt f_1 (m)\)である時は、\(Max (\{f_1, f_2\}) (m) = f_1 (m)\)、その一方で、\(1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert) (m) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) + \vert f_1 (m) - f_2 (m) \vert) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) + f_1 (m) - f_2 (m)) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_1 (m)) = 1 / 2 2 f_1 (m) = f_1 (m)\); したがって、\(Max (\{f_1, f_2\}) (m) = 1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert) (m)\)、いずれにせよ。
\(Min (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)、なぜなら、各\(m \in M\)に対して、\(f_1 (m) \le f_2 (m)\)または\(f_2 (m) \lt f_1 (m)\)、そして、\(f_1 (m) \le f_2 (m)\)である時は、\(Min (\{f_1, f_2\}) (m) = f_1 (m)\)、その一方で、\(1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert) (m) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) - \vert f_1 (m) - f_2 (m) \vert) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) - f_2 (m) + f_1 (m)) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_1 (m)) = 1 / 2 2 f_1 (m) = f_1 (m)\); そして、\(f_2 (m) \lt f_1 (m)\)である時は、\(Min (\{f_1, f_2\}) (m) = f_2 (m)\)、その一方で、\(1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert) (m) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) - \vert f_1 (m) - f_2 (m) \vert) = 1 / 2 (f_1 (m) + f_2 (m) - f_1 (m) + f_2 (m)) = 1 / 2 (f_2 (m) + f_2 (m)) = 1 / 2 2 f_2 (m) = f_2 (m)\); したがって、\(Min (\{f_1, f_2\}) (m) = 1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert) (m)\)、いずれにせよ。
\(1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）から任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、そのノルムマップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題および任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(Max (\{f_1, f_2\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
\(1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）から任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、そのノルムマップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題および任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(Min (\{f_1, f_2\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
それは、\(n = n' - 1\)、ここで、\(2 \le n'\)、である時に成立すると仮定しよう。
それは、\(n = n'\)である時に成立することを見よう。
\(Max (\{f_1, ..., f_{n'}\}) = Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\})\)、なぜなら、各\(m \in M\)に対して、\(Max (\{f_1, ..., f_{n'}\}) (m) = f_j (m)\)、ある\(j \in \{1, ..., n'\}\)に対して、そして、\(j \in \{1, ..., n' - 1\}\)である時は、\(Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m) = Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}) (m), f_{n'} (m)\}) = Max (\{f_j (m), f_{n'} (m)\}) = f_j (m)\); そして、\(j = n'\)である時は、\(Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m) = Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}) (m), f_{n'} (m)\}) = Max (\{f_l (m), f_{n'} (m)\})\)、ある\(l \in \{1, ..., n' - 1\}\)に対して、\(= f_{n'} (m) = f_j (m)\); したがって、いずれにせよ、\(Max (\{f_1, ..., f_{n'}\}) (m) = Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m)\)。
\(Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、インダクション（帰納）仮説によって、そして、\(Max (\{Max (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、ステップ2によって。
したがって、\(Max (\{f_1, ..., f_{n'}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
インダクションプリンシプル（帰納法）によって、\(Max (\{f_1, ..., f_n\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。
\(Min (\{f_1, ..., f_{n'}\}) = Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\})\)、なぜなら、各\(m \in M\)に対して、\(Min (\{f_1, ..., f_{n'}\}) (m) = f_j (m)\)、ある\(j \in \{1, ..., n'\}\)に対して、そして、\(j \in \{1, ..., n' - 1\}\)である時は、\(Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m) = Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}) (m), f_{n'} (m)\}) = Min (\{f_j (m), f_{n'} (m)\}) = f_j (m)\)、そして、\(j = n'\)である時は、\(Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m) = Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}) (m), f_{n'} (m)\}) = Min (\{f_l (m), f_{n'} (m)\})\)、ある\(l \in \{1, ..., n' - 1\}\)に対して、\(= f_{n'} (m) = f_j (m)\); したがって、いずれにせよ、\(Min (\{f_1, ..., f_{n'}\}) (m) = Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\}) (m)\)。
\(Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、インダクション（帰納）仮説によって、そして、\(Min (\{Min (\{f_1, ..., f_{n' - 1}\}), f_{n'}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、ステップ2によって。
したがって、\(Min (\{f_1, ..., f_{n'}\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
インダクションプリンシプル（帰納法）によって、\(Min (\{f_1, ..., f_n\})\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。
