ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのリニアコンビネーション（線形結合）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）間のユニフォーム（一様）にコンティニュアスマップ（連続写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（空間）}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M \to \mathbb{R}^d \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\{r_1, ..., r_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
\(r_1 f_1 + ... + r_n f_n\): \(: M \to \mathbb{R}^d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(r_1 f_1 + ... + r_n f_n \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(\epsilon\)に対して、\(r_j \neq 0\)を満たす各\(j\)に対して、以下を満たす\(\delta_j\)、つまり、\(f_j (B_{m, \delta_j}) \subseteq B_{f_j (m), \epsilon / (n \vert r_j \vert)}\)、および\(\delta\)をそうした\(\delta_j\)たちのミニマム（最小）として取り、\((r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (B_{m, \delta}) \subseteq B_{(r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m), \epsilon}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(r_j \neq 0\)を満たす各\(j\)に対して、以下を満たすある\(\delta_j \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta_j\)で各\(m \in M\)に対して、\(f_j (B_{m, \delta_j}) \subseteq B_{f_j (m), \epsilon / (n \vert r_j \vert)}\)、がある、なぜなら、\(f_j\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
\(\{r_1, ..., r_n\}\)の全てがゼロたちであるわけではない時、\(\delta \in \mathbb{R}\)をそうした\(\delta_j\)たちのミニマム（最小）としよう、すると、\(0 \lt \delta\)。
そうでない時、\(\delta \in \mathbb{R}\)を\(1\)としよう、すると、\(0 \lt \delta\)。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(m' \in B_{m, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(dist ((r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m'), (r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m)) = \Vert (r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m') - (r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m) \Vert = \Vert r_1 f_1 (m') + ... + r_n f_n (m') - r_1 f_1 (m) - ... - r_n f_n (m) \Vert = \Vert r_1 (f_1 (m') - f_1 (m)) + ... + r_n (f_n (m') - f_n (m)) \Vert \le \Vert r_1 (f_1 (m') - f_1 (m)) \Vert + ... + \Vert r_n (f_n (m') - f_n (m)) \Vert\)、ノルムのあるプロパティとして、\(= \vert r_1 \vert \Vert f_1 (m') - f_1 (m) \Vert + ... + \vert r_n \vert \Vert f_n (m') - f_n (m) \Vert\)。
\(r_j \neq 0\)を満たす各\(j\)に対して、\(m' \in B_{m, \delta} \subseteq B_{m, \delta_j}\)、したがって、\(f_j (m') \in B_{f_j (m), \epsilon / (n \vert r_j \vert)}\)、したがって、\(\vert r_j \vert \Vert f_j (m') - f_j (m) \Vert \lt \vert r_j \vert \epsilon / (n \vert r_j \vert) = \epsilon / n\)。
\(r_j = 0\)を満たす各\(j\)に対して、\(\vert r_j \vert \Vert f_j (m') - f_j (m) \Vert = 0 \lt \epsilon / n\)。
したがって、\(dist ((r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m'), (r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m)) \lt \epsilon / n + ... + \epsilon / n = \epsilon\)。
それが意味するのは、\((r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (B_{m, \delta}) \subseteq B_{(r_1 f_1 + ... + r_n f_n) (m), \epsilon}\)。
\(\delta\)は\(m\)に独立に決定されているので、\(r_1 f_1 + ... + r_n f_n\)はユニフォームにコンティニュアス（連続）である。
