インフィニット（無限）セット（集合）に対して、もしも、セット（集合）からナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の中へのインジェクション（単射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）からセット（集合）の上へのバイジェクション（全単射）があることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、カウンタブルセット（可算集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）は\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）であるという命題を認めている。
- 読者は、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインフィニット（無限）セット（集合）に対して、もしも、当該セット（集合）からナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の中への任意のインジェクション（単射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）および任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）は何らかのディスジョイント（互いに素）カウンタブル（可算）数オープンインターバル（開区間）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}, \exists \{I_j \in \{\text{ 全てのオープンインターバル（開区間）たち }\} \vert j \in J\} (\forall j, j' \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \neq j' (I_j \cap I_{j'} = \emptyset) \land U = \cup_{j \in J} I_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(u \in U\)に対して、\(u\)周りの\(U\)内に包含されるマキシマム（最大）オープンインターバル（開区間）\(I_u\)を取り、\(\{I_u \vert u \in U\}\)を取る; ステップ2: \(\{I_u \vert u \in U\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見、各\(I_u\)内にあるラショナルナンバー（有理数）を取り、あるインジェクション（単射）\(f: \{I_u \vert u \in U\} \to \mathbb{N}\)を取り、あるバイジェクション（全単射）\(f': \mathbb{N} \to \{I_u \vert u \in U\}\)を取り、\(J = \mathbb{N}\)および\(f' (J) = \{I_j \vert j \in J\}\)を取り、\(U = \cup_{j \in J} I_j\)であることを見る。
ステップ1:
各\(u \in U\)に対して、\(u\)周りの\(U\)に包含されるマキシマム（最大）オープンインターバル（開区間）\(I_u \subseteq \mathbb{R}\)を取る、それは、ユニークに決定される、なぜなら、それは、\(u\)周りの\(U\)内に包含される全てのオープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）のユニオン（和集合）である: 当該セット（集合）は非空である、なぜなら、\(U\)はオープン（開）であるから、少なくとも\(1\)個の\((u - \epsilon, u + \epsilon) \subseteq U\)があり、当該ユニオン（和集合）は本当にあるインターバル（区間）である、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）は\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）であるという命題によって: 当該セット（集合）はダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、\(u\)が各要素内に包含されている、そして、当該ユニオン（和集合）はあるオープンインターバル（開区間）である、なぜなら、それはオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として、そして、当該ユニオン（和集合）は\(u\)を包含し\(U\)内に包含されている、そして、当該ユニオン（和集合）はマキシマム（最大）である、なぜなら、\(u\)周りの\(U\)内に包含される任意のオープンインターバル（開区間）は当該セット（集合）のある要素であり、当該ユニオン（和集合）内に包含されている。
\(\{I_u \vert u \in U\}\)を取ろう。
注意として、何らかの\(u \neq u'\)に対して、\(I_u = I_{u'}\)が可能であり、それらはある単一要素である、したがって、\(\{I_u \vert u \in U\}\)は、実際には、必ずしも\(U\)のポイントたち数要素たちを持たない。
ステップ2:
\(\{I_u \vert u \in U\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見よう。
\(I_u, I_{u'} \in \{I_u \vert u \in U\}\)を、\(I_u \neq I_{u'}\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(I_u \cap I_{u'} \neq \emptyset\)であったと仮定しよう。
ある\(r \in I_u \cap I_{u'}\)があることになる。
\(I_r\)があることになり、\(I_u, I_{u'} \subseteq I_r\)、なぜなら、\(I_u\)および\(I_{u'}\)は\(r\)周りの\(U\)に包含されるオープンインターバル（開区間）たちだった、そして、\(I_r\)はそうした全てのオープンインターバル（開区間）たちのユニオン（和集合）だった、それが含意することになるのは、\(u, u' \in I_r\)、したがって、\(I_r \subseteq I_u, I_{u'}\)、なぜなら、\(I_r\)は、\(u\)周りの\(U\)に包含されるあるオープンインターバル（開区間）だった、その一方で、\(I_u\)は全てのそうしたオープンインターバル（開区間）たちのユニオン（和集合）だった、そして、\(I_r\)は\(u'\)周りの\(U\)に包含されるあるオープンインターバル（開区間）だった、その一方で、\(I_{u'}\)は、全てのそうしたオープンインターバル（開区間）たちのユニオン（和集合）だった。
したがって、\(I_r \subseteq I_u, I_{u'} \subseteq I_r\)、したがって、\(I_u = I_{u'} = I_r\)、\(I_u \neq I_{u'}\)に反する矛盾。
したがって、\(I_u \cap I_{u'} = \emptyset\)。
したがって、\(\{I_u \vert u \in U\}\)はディスジョイント（互いに素）である。
マップ（写像）\(g: \{I_u \vert u \in U\} \to Pow (\mathbb{Q})\)、それは、\(I_u\)を\(I_u\)内に包含される\(\mathbb{Q}\)ポイントたちのセット（集合）へマップする、がある。
各\(g (I_u)\)は非空である、なぜなら、\(I_u\)は少なくとも\(1\)個のラショナルナンバー（有理数）を包含する。
したがって、チョイス（選択）公理によって、あるマップ（写像）\(g': \{I_u \vert u \in U\} \to \mathbb{Q}\)、ここで、\(g' (I_j) \in g (I_u)\)、がある、それはあるインジェクション（単射）である、なぜなら、\(\{I_u \vert u \in U\}\)はディスジョイント（互いに素）である。
\(\mathbb{Q}\)はカウンタブル（可算）であるから、あるバイジェクション（全単射）\(h: \mathbb{N} \to \mathbb{Q}\)がある。
\(f: \{I_u \vert u \in U\} \to \mathbb{N} = h^{-1} \circ g'\)としよう、それはあるインジェクション（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。
したがって、あるバイジェクション（全単射）\(f': \mathbb{N} \to \{I_u \vert u \in U\}\)がある、任意のインフィニット（無限）セット（集合）に対して、もしも、当該セット（集合）からナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の中への任意のインジェクション（単射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題によって。
\(J := \mathbb{N}\)としよう。
\(f' (J) = \{I_j = f' (j) \vert j \in J\}\)としよう。
\(\{I_j \vert j \in J\} = \{I_u \vert u \in U\}\)、なぜなら、\(f'\)は\(\{I_u \vert u \in U\}\)の上へのあるバイジェクション（全単射）である。
\(\{I_j \vert j \in J\}\)はディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、\(\{I_u \vert u \in U\}\)がそうである。
\(U = \cup_{j \in J} I_j\)であることを見よう。
各\(u \in U\)に対して、\(u \in I_u\)、しかし、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(I_j = I_u\)、がある、なぜなら、\(\{I_j \vert j \in J\} = \{I_u \vert u \in U\}\)、したがって、\(u \in I_j\)。
したがって、\(u \in \cup_{j \in J} I_j\)。
したがって、\(U \subseteq \cup_{j \in J} I_j\)。
各\(r \in \cup_{j \in J} I_j\)に対して、\(r \in I_j\)、ある\(j \in J\)に対して、しかし、\(I_j = I_u\)、ある\(u \in U\)に対して、そして、\(r \in I_j = I_u \subseteq U\)。
したがって、\(r \in U\)。
したがって、\(\cup_{j \in J} I_j \subseteq U\)。
したがって、\(U = \cup_{j \in J} I_j\)。
