メトリックスペース（計量付き空間）たち間マップ（写像）およびドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）上のシーケンスでポイントへコンバージ（収束）する各々に対して、そのイメージ（像）がポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）スペース（空間）たちマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるものの定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たち間任意のマップ（写像）および任意のドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、当該ドメイン（定義域）上のシーケンスで当該ポイントへコンバージ（収束）する各々に対して、そのイメージ（像）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、当該マップ（写像）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
\(m_1\): \(\in M_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s: J \to M_1 \in \{m_1 \text{ へコンバージ（収束）する全てのシーケンス（列）たち }\} (f \circ s: J \to M_2 \in \{f (m_1) \text{ へコンバージ（収束）する全てのシーケンス（列）たち }\})\)
\(\iff\)
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(s\)に対して\(f \circ s\)は\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）すると仮定する; ステップ2: 各\(\epsilon\)に対して、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)、を取る; ステップ3: \(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ4: \(f \circ s\)は各\(s\)に対して\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）することを見る。
ステップ1:
\(m_1\)へコンバージ（収束）する各\(s: J \to M_1\)に対して、\(f \circ s: J \to M_2\)は\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）すると仮定しよう。
ステップ2:
ステップ2戦略: 各\(\epsilon\)に対して、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)、を取る、以下のとおり: ステップ2-1: \(m_1\)へコンバージ（収束）する全てのインフィニット（無限）シーケンス（列）たちのセット（集合）\(\{s_l \vert l \in L\}\)を取り、各\(l \in L\)に対して、以下を満たす\(N_l\)、つまり、各\(N_l \lt n\)に対して、\(f \circ s_l ({J_l}_n) \in B_{f (m_1), \epsilon}\)、を取り、\(\delta_l := Min (\{dist (m_1, s_l ({J_l}_n)) \vert n \le N_l \land f \circ s_l ({J_l}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\})\)を取り、\(\delta := Inf (\{\delta_l \vert l \in L^`\})\)、ここで、\(L^` \subseteq L\)、を取る; ステップ2-2: \(0 \lt \delta\)であることを見る; ステップ2-3: \(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)であることを見る。
ステップ2-1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(\{s_l: J_l \to M_1 \vert l \in L\}\)を、\(m_1\)へコンバージ（収束）する全てのインフィニット（無限）シーケンス（列）たちのセット（集合）、ここで、\(L\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）で\(J_l \subseteq \mathbb{N}\)、としよう。
\(L\)は空でない、なぜなら、少なくとも\(s_l: \mathbb{N} \to M_1\)で\(m_1\)へコンスタントなものがある。
\(l \in L\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N_l \subseteq \mathbb{N}\)、つまり、\(N_l \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(f \circ s_l ({J_l}_n) \in B_{f (m_1), \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(f \circ s_l\)は\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）する。
\(L^` := \{l \in L \vert \{n \in \mathbb{N} \vert n \le N_l \land f \circ s_l ({J_l}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\} \neq \emptyset\}\)としよう。
\(L^` = \emptyset\)である時、\(\delta \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \delta\)を満たす任意のものとしよう。すると、\(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)、なぜなら、もしも、以下を満たすある\(m'_1 \in B_{m_1, \delta}\)、つまり、\(f (m'_1) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)、があったら、以下を満たすある\(s_l: \mathbb{N} \to M_1\)、つまり、\(s_l (0) = m'_1\)および\(s_l (n) = m_1\)、各\(0 \lt n\)に対して、があることになる、それは、\(m_1\)へコンバージ（収束）することになり、\(l \in L^`\): \(1 \le N_l\)および\(s_l (0) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)、矛盾。
これ以降は、\(L^` \neq \emptyset\)であると仮定しよう。
\(l \in L^`\)を任意のものとしよう。
\(\delta_l := Min (\{dist (m_1, s_l ({J_l}_n)) \vert n \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } n \le N_l \land f \circ s_l ({J_l}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\})\)を取ろう、それは、存在する、なぜなら、\(\{n \in \mathbb{N} \vert n \le N_l \land f \circ s_l ({J_l}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\}\)は空でない。
\(\delta := Inf (\{\delta_l \vert l \in L^`\})\)を取ろう、それは、存在する、なぜなら、\(\{\delta_l \vert l \in L^`\}\)は空でなく\(0\)によってローワーバウンデッド（下方有界）である。
ステップ2-2:
\(0 \le \delta\)であるところ、\(0 \lt \delta\)であることを見よう。
\(0 = \delta\)であったと仮定しよう。
\(s: \mathbb{N} \to M_1\)を以下のとおりに取ろう。
ある\(\delta_{l_0} \lt (1 / 2)^0\)があることになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(\delta \lt (1 / 2)^0\)。
それが意味することになるのは、\(f \circ s_{l_0} ({J_{l_0}}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)および\(dist (s_{l_0} ({J_{l_0}}_n), m_1) = \delta{l_0}\)、ある\(n \le N_{l_0}\)に対して、そして、\(s (0) = s_{l_0} ({J_{l_0}}_n)\)としよう、したがって、\(dist (s (0), m_1) = \delta{l_0} \lt (1 / 2)^0\)および\(f \circ s (0) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)。
すると、ある\(\delta_{l_1} \lt (1 / 2)^1\)があることになる、前と同様。
それが意味することになるのは、\(f \circ s_{l_1} ({J_{l_1}}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)および\(dist (s_{l_1} ({J_{l_1}}_n), m_1) = \delta{l_1}\)、ある\(n \le N_{l_1}\)に対して、そして、\(s (1) = s_{l_1} ({J_{l_1}}_n)\)としよう、したがって、\(dist (s (1), m_1) = \delta{l_1} \lt (1 / 2)^1\)および\(f \circ s (1) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)。
一般に、ある\(\delta_{l_j} \lt (1 / 2)^j\)があることになる、前と同様。
それが意味することになるのは、\(f \circ s_{l_j} ({J_{l_j}}_n) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)および\(dist (s_{l_j} ({J_{l_j}}_n), m_1) = \delta{l_j}\)、ある\(n \le N_{l_j}\)に対して、そして、\(s (j) = s_{l_j} ({J_{l_j}}_n)\)としよう、したがって、\(dist (s (j), m_1) = \delta{l_j} \lt (1 / 2)^j\)および\(f \circ s (j) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)。
このように、\(s\)は定義された。
\(s\)は\(m_1\)へコンバージ（収束）した、なぜなら、\(dist (s (j), m_1) \lt (1 / 2)^j\)。
しかし、\(f \circ s (j) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)、各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、したがって、\(f \circ s\)は\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）しないことになる、当該仮定に反する矛盾。
したがって、\(0 \lt \delta\)。
ステップ2-3:
すると、\(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)、なぜなら、もしも、以下を満たすある\(m'_1 \in B_{m_1, \delta}\)、つまり、\(f (m'_1) \notin B_{f (m_1), \epsilon}\)、があったら、以下を満たすある\(s_l\)、つまり、\(s_l ({J_l}_{N_l}) = m'_1\)、があることになる、それが意味することになるのは、\(\delta \le \delta_l \le dist (m_1, m'_1) \lt \delta\)、矛盾。
それが意味するのは、\(f\)はコンティニュアス（連続）であること。
ステップ3:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(s: J \to M_1\)を、\(m_1\)へコンバージ（収束）する任意のシーケンス（列）としよう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(f (B_{m_1, \delta}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (J_n) \in B_{m_1, \delta}\)、がある、なぜなら、\(s\)は\(m_1\)へコンバージ（収束）する。
すると、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(f \circ s (J_n) \in B_{f (m_1), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(f \circ s\)は\(f (m_1)\)へコンバージ（収束）すること。
