オープンインターバル（開区間）からリアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもののパワーセット（集合）の中へのバウンダリー（境界）における包含するコンバージェント（収束する）マップ（写像）に対して、包含するコンバージェンス（収束部分集合）のサプリマム（上限）はサブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちへのマップ（写像）のコンバージェンス（収束ポイント）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンインターバル（開区間）からセット（集合）のパワーセット（集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）における包含するコンバージェンス（収束部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンインターバル（開区間）からリアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもののパワーセット（集合）の中へのバウンダリー（境界）における任意の包含するコンバージェント（収束する）マップ（写像）に対して、もしも、当該包含するコンバージェンス（収束部分集合）のサプリマム（上限）が存在しない場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちへのマップ（写像）のコンバージェンス（収束ポイント）は存在しない、、そして、そうでない場合、当該包含するコンバージェンス（収束部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちへのマップ（写像）のコンバージェンス（収束ポイント）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((r_1, r_2)\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのオープンインターバル（開区間）たち }\}\)、ここで、\(r_1\)は\(- \infty\)であり得ず、\(r_2\)は\(\infty\)であり得ない
\(\mathbb{R}\): で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの
\(f\): \(: (r_1, r_2) \to Pow (\mathbb{R})\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\exists lim_{ci, r_1} f \lor \exists lim_{ci, r_2} f\)
\(f'\): \(: (r_1, r_2) \to \mathbb{R}, r \mapsto Sup (f (r))\)、それは、存在しないかもしれない
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\lnot \exists Sup (lim_{ci, r_1} f)\)
\(\implies\)
\(\lnot \exists lim_{r_1} f'\)
)
\(\land\)
(
\(\exists Sup (lim_{ci, r_1} f)\)
\(\implies\)
\(\exists lim_{r_1} f' \land Sup (lim_{ci, r_1} f) = lim_{r_1} f'\)
)
\(\land\)
(
\(\lnot \exists Sup (lim_{ci, r_2} f)\)
\(\implies\)
\(\lnot \exists lim_{r_2} f'\)
)
\(\land\)
(
\(\exists Sup (lim_{ci, r_2} f)\)
\(\implies\)
\(\exists lim_{r_2} f' \land Sup (lim_{ci, r_2} f) = lim_{r_2} f'\)
)
//
2: 注
あるオープンインターバル（開区間）からリアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもののパワーセット（集合）の中へのバウンダリー（境界）におけるある包含されるコンバージェント（収束する）マップ（写像）に対する類似の命題は成立しない、一般に。
例えば、\((r_1, r_2) = (0, 1)\)、\(f: (r_1, r_2) \to Pow (\mathbb{R}), r \mapsto (-1, 1) \cup (2 - r, 2)\)としよう。すると、\(lim_{ce, r_1} f = (-1, 1)\)、なぜなら、\((-1, 1) \subseteq (-1, 1) \cup (2 - r, 2)\)、そして、各\(r' \in (2 - 1, 2)\)に対して、以下を満たすある\({r_1}' \in (0, 1)\)、つまり、\(r' \lt 2 - {r_1}'\)、がある、なぜなら、\(1 \lt 2 - r' \lt 1\)、そして、各\(r \in (0, {r_1}')\)に対して、\(r' \notin (2 - r, 2)\)、なぜなら、\(r' \lt 2 - {r_1}' \lt 2 - r\)。しかし、\(Sup (lim_{ce, r_1} f) = lim_{r_1} f'\)は成立しない、なぜなら、\(f' (r) = Sup (f (r)) = 2\)、各\(r\)に対して、したがって、\(f'\)は\(1 = Sup ((- 1, 1))\)に近づかない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Sup (lim_{ci, r_1} f)\)は存在しないと仮定する; ステップ2: \(lim_{r_1} f'\)は存在しないことを見る; ステップ3: \(Sup (lim_{ci, r_1} f)\)は存在すると仮定する; ステップ4: \(Sup (lim_{ci, r_1} f) = lim_{r_1} f'\)であることを見る; ステップ5: \(Sup (lim_{ci, r_2} f)\)は存在しないと仮定する; ステップ6: \(lim_{r_2} f'\)は存在しないことを見る; ステップ7: \(Sup (lim_{ci, r_2} f)\)は存在すると仮定する; ステップ8: \(Sup (lim_{ci, r_2} f) = lim_{r_2} f'\)であることを見る。
ステップ1:
\(Sup (lim_{ci, r_1} f)\)は存在しないと仮定しよう。
ステップ2:
それが意味するのは、\(lim_{ci, r_1} f\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないこと。
それが意味するのは、各\(r' \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(r \in lim_{ci, r_1} f\)、つまり、\(r' \lt r\)、があること。
すると、以下を満たすある\({r_1}' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r^` \in (r_1, {r_1}')\)に対して、\(r \in f (r^`)\)、がある、したがって、\(r' \lt r \le Sup (f (r^`))\)、もしも、\(Sup (f (r^`))\)が存在するとしても（そうでない場合、\(f'\)は存在せず、当該主張は成立する）。
もしも、ある\(lim_{r_1} f' \in \mathbb{R}\)があったら、以下を満たすある\({r_1}'' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r'' \in (r_1, {r_1}'')\)に対して、\(\vert lim_{r_1} f' - Sup (f (r'')) \vert \lt 1\)、があることになる、したがって、\(lim_{r_1} f' - 1 \lt Sup (f (r'')) \lt lim_{r_1} f' + 1\)。
しかし、\(r' = lim_{r_1} f' + 1\)と取って、各\(r'' \in (r_1, {r_1}') \cap (r_1, {r_1}'')\)に対して、\(lim_{r_1} f' + 1 \lt Sup (f (r''))\)、したがって、\(Sup (f (r'')) \lt lim_{r_1} f' + 1 \lt Sup (f (r'')))\)、矛盾。
したがって、\(lim_{r_1} f' \in \mathbb{R}\)は無い。
ステップ3:
\(Sup (lim_{ci, r_1} f)\)は存在すると仮定しよう。
ステップ4:
それが意味するのは、\(lim_{ci, r_1} f\)はアッパーバウンデッド（上方有界）であること。
各\(Sup (f (r))\)は存在する、なぜなら、\(f (r) \subseteq lim_{ci, r_1} f\)。
したがって、\(f'\)は存在する。
\(Sup (f (r)) \le Sup (lim_{ci, r_1} f)\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(r \in lim_{ci, r_1} f\)、つまり、\(Sup (lim_{ci, r_1} f) - \epsilon \lt r\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
しかし、以下を満たすある\({r_1}' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r' \in (r_1, {r_1}')\)に対して、\(r \in f (r')\)、がある、したがって、\(Sup (lim_{ci, r_1} f) - \epsilon \lt r \le Sup (f (r'))\)。
したがって、\(f' (r') = Sup (f (r'))\)であるから、\(Sup (lim_{ci, r_1} f) - \epsilon \lt f' (r') \le Sup (lim_{ci, r_1} f)\)、各\(r' \in (r_1, {r_1}')\)に対して、それが意味するのは、\(\vert f' (r') - Sup (lim_{ci, r_1} f) \vert \lt \epsilon\)。
したがって、\(lim_{r_1} f' = Sup (lim_{ci, r_1} f)\)。
ステップ5:
\(Sup (lim_{ci, r_2} f)\)は存在しないと仮定しよう。
ステップ6:
それが意味するのは、\(lim_{ci, r_2} f\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないこと。
それが意味するのは、各\(r' \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(r \in lim_{ci, r_2} f\)、つまり、\(r' \lt r\)、があること。
すると、以下を満たすある\({r_2}' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r^` \in ({r_2}', r_2)\)に対して、\(r \in f (r^`)\)、がある、したがって、\(r' \lt r \le Sup (f (r^`))\)、もしも、\(Sup (f (r^`))\)が存在するとしても（そうでない場合、\(f'\)は存在せず、当該主張は成立する）。
もしも、ある\(lim_{r_2} f' \in \mathbb{R}\)があったら、以下を満たすある\({r_2}'' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r'' \in ({r_2}'', r_2)\)に対して、\(\vert lim_{r_2} f' - Sup (f (r'')) \vert \lt 1\)、があることになる、したがって、\(lim_{r_2} f' - 1 \lt Sup (f (r'')) \lt lim_{r_2} f' + 1\)。
しかし、\(r' = lim_{r_2} f' + 1\)と取って、各\(r'' \in ({r_2}', r_2) \cap ({r_2}'', r_2)\)に対して、\(lim_{r_2} f' + 1 \lt Sup (f (r''))\)、したがって、\(Sup (f (r'')) \lt lim_{r_2} f' + 1 \lt Sup (f (r'')))\)、矛盾。
したがって、\(lim_{r_2} f' \in \mathbb{R}\)は無い。
ステップ7:
\(Sup (lim_{ci, r_2} f)\)は存在すると仮定しよう。
ステップ8:
それが意味するのは、\(lim_{ci, r_2} f\)アッパーバウンデッド（上方有界）であること。
各\(Sup (f (r))\)は存在する、なぜなら、\(f (r) \subseteq lim_{ci, r_2} f\)。
したがって、\(f'\)は存在する。
\(Sup (f (r)) \le Sup (lim_{ci, r_2} f)\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(r \in lim_{ci, r_2} f\)、つまり、\(Sup (lim_{ci, r_2} f) - \epsilon \lt r\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
しかし、以下を満たすある\({r_2}' \in (r_1, r_2)\)、つまり、各\(r' \in ({r_2}', r_2)\)に対して、\(r \in f (r')\)、がある、したがって、\(Sup (lim_{ci, r_2} f) - \epsilon \lt r \le Sup (f (r'))\)。
したがって、\(f' (r') = Sup (f (r'))\)であるから、\(Sup (lim_{ci, r_2} f) - \epsilon \lt f' (r') \le Sup (lim_{ci, r_2} f)\)、各\(r' \in ({r_2}', r_2)\)に対して、それが意味するのは、\(\vert f' (r') - Sup (lim_{ci, r_2} f) \vert \lt \epsilon\)。
したがって、\(lim_{r_2} f' = Sup (lim_{ci, r_2} f)\)。
