\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のダイバージェント（発散する）非ネガティブ（負）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、合計たち順序を変えたシリーズ（級数）はダイバージ（発散）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のダイバージェント（発散する）非ネガティブ（負）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、合計たち順序を変えたシリーズ（級数）はダイバージ（発散）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J_1\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J_1 \neq \emptyset\)
\(J_2\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J_2 \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: J_1 \times J_2 \to [0, \infty) \subseteq \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \infty\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2) = \infty\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \infty\)、ある\(j_1 \in J_1\)に対して、と仮定する; ステップ2: 各\(r\)に対して、以下を満たすある\(N'\)、つまり、各\(N' \lt n'\)に対して、\(r \lt \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)、であることを見る; ステップ3: \(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) \in \mathbb{R}\)、各\(j_1 \in J_1\)に対して、と仮定する; ステップ4: 各\(r\)に対して、\(r + \epsilon \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2)\)、以下を満たすある\(N'\)、つまり、各\(N' \lt n'\)に対して、\(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) - \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) \lt \epsilon / N\)、がある、そして、\(r \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} s (j_1, j_2)\)、そして、\(r \lt \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \infty\)、ある\(j_1 \in J_1\)に対して、と仮定しよう。
ステップ2:
\(r \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt n'\)を満たす各\(n' \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \lt \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2)\)、がある。
\(0 \le s (j_1, j_2)\)、各\(j_1 \in J_1\)および\(j_2 \in J_2\)に対して、であるから、\(s (j_1, j_2) \le \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)、各\(j_2 \in J_2\)に対して。
したがって、\(r \lt \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) \le \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2) = \infty\)。
ステップ3:
\(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) \in \mathbb{R}\)、各\(j_1 \in J_1\)に対して、と仮定しよう。
ステップ4:
\(r \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r + \epsilon \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2)\)、がある。
各\(j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}\)に対して、以下を満たすある\(N'_{j_1} \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N'_{j_1} \lt n'\)を満たす各\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) - \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) \lt \epsilon / N\)、がある。
\(N' := Max (\{N'_{{J_1}_1}, ..., N'_{{J_1}_N}\})\)としよう。
\(N' \lt n'\),を満たす各\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) - \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) \lt \epsilon / N\)、各\(j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}\)に対して。
\(r + \epsilon \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} (\sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) - \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) + \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2)) \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} (\epsilon / N + \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2)) = \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \epsilon / N + \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) = \epsilon + \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2)\)。
しかし、\(\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} s (j_1, j_2)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって。
したがって、\(r \lt \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} s (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_N\}} s (j_1, j_2)\)。
\(0 \le s (j_1, j_2)\)、各\(j_1 \in J_1\)および\(j_2 \in J_2\)に対して、であるから、\(\le \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)。
したがって、\(r \lt \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n'}\}} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2) = \infty\)。
