トポロジカルスペース（空間）でイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよびサブスペース（部分空間）でサブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、サブスペース（部分空間）のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）からスペース（空間）のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）で任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）で当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、当該サブセット（部分集合）のクオシエント（商）セット（集合）から当該セット（集合）のクオシエント（商）セット（集合）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよび任意のサブスペース（部分空間）で当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、当該サブスペース（部分空間）のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）から当該スペース（空間）のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim'\)を持つもの
\(T\): \(\subseteq T'\)で、当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim\)を持つもの
\(f'\): \(: T' \to T' / \sim', t' \mapsto [t']'\)
\(f\): \(: T \to T / \sim, t \mapsto [t]\)
\(T' / \sim'\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合）で、 } f' \text{ に関するクオシエント（商）トポロジーを持つもの }\)
\(T / \sim\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合）で、 } f \text{ に関するクオシエント（商）トポロジーを持つもの }\)
\(g\): \(: T / \sim \to T' / \sim', [t] \mapsto [t]'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' \vert_T = g \circ f\)であることを見る; ステップ2: 各オープン（開）\(U' \subseteq T' / \sim'\)に対して、\({f' \vert_T}^{-1} (U') = (g \circ f)^{-1} (U') = f^{-1} (g^{-1} (U'))\)であることを見、\(g^{-1} (U')\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(g\)は妥当であり、\(f' \vert_T = g \circ f\)、任意のセット（集合）で任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）で当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、当該サブセット（部分集合）のクオシエント（商）セット（集合）から当該セット（集合）のクオシエント（商）セット（集合）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）があるという命題によって。
ステップ2:
\(U' \subseteq T' / \sim'\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\({f' \vert_T}^{-1} (U') = (g \circ f)^{-1} (U')\)。
\({f' \vert_T}^{-1} (U') = f'^{-1} (U') \cap T\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、それは、\(T\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f'^{-1} (U') \subseteq T'\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、\(T' / \sim'\)に当該クオシエント（商）トポロジーが与えられて。
\((g \circ f)^{-1} (U') = f^{-1} (g^{-1} (U'))\)、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。
したがって、\(f^{-1} (g^{-1} (U')) \subseteq T\)はオープン（開）である。
すると、\(g^{-1} (U') \subseteq T / \sim\)はオープン（開）である、クオシエント（商）トポロジーの定義によって。
したがって、\(g\)はコンティニュアス（連続）である。
