セット（集合）からメジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）をメジャラブル（測定可能）にするドメイン（定義域）の最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）はメジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）をメジャラブル（測定可能）にする当該ドメイン（定義域）の最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該コドメイン（余域）の全てのメジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to M_2\)
\(A_1\): \(= \cap \{A \in \{S_1 \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\} \vert f \in \{(S_1, A) \text{ から } (M_2, A_2) \text{ の中への全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\}\)
\(Q\): \(= \{f^{-1} (a) \vert a \in A_2\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(A_1 = Q\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Q \subseteq A_1\)であることを見る; ステップ2: \(Q\)は\(S_1\)のある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(A \in \{A \in \{S_1 \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\} \vert f \in \{(S_1, A) \text{ から } (M_2, A_2) \text{ の中への全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\}\) be any.
各\(a \in A_2\)に対して、\(f^{-1} (a) \in A\)は、\(f\)がメジャラブル（測定可能）であるためのある必要条件である。
したがって、\(f^{-1} (a) \in A_1\)。
したがって、\(Q \subseteq A_1\)。
ステップ2:
\(Q\)は\(S_1\)のある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見よう。
1) \(S_1 \in Q\): \(M_2 \in A_2\)、そして、\(f^{-1} (M_2) = S_1 \in Q\)、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって。
2) \(\forall q \in Q (S_1 \setminus q \in Q)\): \(q = f^{-1} (a)\)、そして、\(S_1 \setminus q = S_1 \setminus f^{-1} (a) = f^{-1} (M_2 \setminus a)\)、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、しかし、\(M_2 \setminus a \in A_2\)。
3) \(\forall s: \mathbb{N} \to Q (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in Q)\): 各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (j) = f^{-1} (a_j)\)、ある\(a_j \in A_2\)に対して、そして、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) = \cup_{j \in \mathbb{N}} f^{-1} (a_j) = f^{-1} (\cup_{j \in \mathbb{N}} a_j)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} a_j \in A_2\)。
したがって、\(Q\)はある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
ステップ3:
\(f\)は\((S_1, Q)\)から\((M_2, A_2)\)の中へメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、各\(a \in A_2\)に対して、\(f^{-1} (a) \in Q\)。
したがって、\(Q\)はある\(A \in \{A \in \{S_1 \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\} \vert f \in \{(S_1, A) \text{ から } (M_2, A_2) \text{ の中への全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\}\).
したがって、\(A_1 \subseteq Q\)。
ステップ1による\(Q \subseteq A_1\)と合わせて、\(A_1 = Q\)。
