セット（集合）およびサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのユニオン（和集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちのユニオン（和集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、もしも、前者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）が後者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）内に包含されている場合、前者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、後者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および任意のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのユニオン（和集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちのユニオン（和集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq Pow (S') \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j)) = \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cup_{j \in J} S_j \subseteq \cup_{j \in J} \sigma (S_j)\)および\(\sigma (\cup_{j \in J} S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j))\)であることを見る; ステップ2: \(\cup_{j \in J} \sigma (S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)および\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j)) \subseteq \sigma (\sigma (\cup_{j \in J} S_j)) = \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、\(S_j \subseteq \sigma (S_j)\)、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義によって。
したがって、\(\cup_{j \in J} S_j \subseteq \cup_{j \in J} \sigma (S_j)\)。
したがって、\(\sigma (\cup_{j \in J} S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j))\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、もしも、前者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）が後者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）内に包含されている場合、前者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、後者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題によって。
ステップ2:
\(S^` \in \cup_{j \in J} \sigma (S_j)\)を任意のものとしよう。
\(S^` \in \sigma (S_j)\)、ある\(j \in J\)に対して。
\(S_j \subseteq \cup_{j \in J} S_j\)であるから、\(\sigma (S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、もしも、前者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）が後者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）内に包含されている場合、前者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、後者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題によって。
したがって、\(S^` \in \sigma (S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)。
したがって、\(\cup_{j \in J} \sigma (S_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)。
\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j)) \subseteq \sigma (\sigma (\cup_{j \in J} S_j))\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、もしも、前者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）が後者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）内に包含されている場合、前者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、後者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題によって。
しかし、\(\sigma (\sigma (\cup_{j \in J} S_j)) = \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)、任意のセット（集合）および任意のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題によって。
したがって、\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j)) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)。
ステップ3:
したがって、\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (S_j)) = \sigma (\cup_{j \in J} S_j)\)。
