グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））のサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））のサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全ての、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの }\}\)
\( G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\( \sim_{G, l}\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in g' G)\}\), \(\in \{G' \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\( \sim_{G, r}\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in G g')\}\), \(\in \{G' \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(*G' / \sim_{G, l}\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(*G' / \sim_{G, r}\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(\sim_{G, l}\)および\(\sim_{G, r}\)の各々は、本当に、あるイクイバレンスリレーション（同値関係）である、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題によって、そして、\(G' / \sim_{G, l}\)および\(G' / \sim_{G, r}\)の各々は、あるクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）である、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義に対する"注"内に言及されているとおり。
\(G' / \sim_{G, l}\)および\(G' / \sim_{G, r}\)の各々は、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）に関してグループ（群）ではない、\(G\)があるノーマルサブグループ（正規部分群）でない限り、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って、という命題によって。
\(G'\)は、ハウスドルフであるトポロジカルグループ（群）であり得る、しかし、そうである必要はない、本定義に対して。
