グループ（群）に対して、要素とサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、要素とサブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素と任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g\): \(\in G\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq G\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \cap_{j \in J} S_j = \cap_{j \in J} (g S_j)\)
\(\land\)
\((\cap_{j \in J} S_j) g = \cap_{j \in J} (S_j g)\)
//
2: 注
任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）と、任意の2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該第1サブセット（部分集合）と当該第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と当該第1サブセット（部分集合）と当該第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないという命題と比較のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that for each \(g' \in g \cap_{j \in J} S_j\), \(g' \in \cap_{j \in J} (g S_j)\), and for each \(g' \in \cap_{j \in J} (g S_j)\), \(g' \in g \cap_{j \in J} S_j\); Step 2: see that for each \(g' \in (\cap_{j \in J} S_j) g\), \(g' \in \cap_{j \in J} (S_j g)\), and for each \(g' \in \cap_{j \in J} (S_j g)\), \(g' \in (\cap_{j \in J} S_j) g\).
Step 1:
Let \(g' \in g \cap_{j \in J} S_j\) be any.
There is a \(g'' \in \cap_{j \in J} S_j\) such that \(g' = g g''\).
For each \(j \in J\), \(g' \in g S_j\), because \(g'' \in S_j\).
So, \(g' \in \cap_{j \in J} (g S_j)\).
So, \(g \cap_{j \in J} S_j \subseteq \cap_{j \in J} (g S_j)\).
Let \(g' \in \cap_{j \in J} (g S_j)\) be any.
For each \(j \in J\), \(g' \in g S_j\), so, \(g' = g s_j\) for an \(s_j \in S_j\).
For each \(j \in J\), \(s_j = g^{-1} g'\).
So, \(g^{-1} g' \in \cap_{j \in J} S_j\).
\(g' = g g^{-1} g'\), where \(g^{-1} g' \in \cap_{j \in J} S_j\).
So, \(g' \in g \cap_{j \in J} S_j\).
So, \(\cap_{j \in J} (g S_j) \subseteq g \cap_{j \in J} S_j\).
So, \(g \cap_{j \in J} S_j = \cap_{j \in J} (g S_j)\).
Step 2:
Let \(g' \in (\cap_{j \in J} S_j) g\) be any.
There is a \(g'' \in \cap_{j \in J} S_j\) such that \(g' = g'' g\).
For each \(j \in J\), \(g' \in S_j g\), because \(g'' \in S_j\).
So, \(g' \in \cap_{j \in J} (S_j g)\).
So, \((\cap_{j \in J} S_j) g \subseteq \cap_{j \in J} (S_j g)\).
Let \(g' \in \cap_{j \in J} (S_j g)\) be any.
For each \(j \in J\), \(g' \in S_j g\), so, \(g' = s_j g\) for an \(s_j \in S_j\).
For each \(j \in J\), \(s_j = g' g^{-1}\).
So, \(g' g^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j\).
\(g' = g' g^{-1} g\), where \(g' g^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j\).
So, \(g' \in (\cap_{j \in J} S_j) g\).
So, \(\cap_{j \in J} (S_j g) \subseteq (\cap_{j \in J} S_j) g\).
So, \((\cap_{j \in J} S_j) g = \cap_{j \in J} (S_j g)\).
