プロバビリティースペース（確率空間）、サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）、各サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に関するメジャラブルマップ（測定可能写像）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、全てのマップ（写像）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）のサブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）から同一メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意の、セット（集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）および当該インデックス付けされたセット（集合）のディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）に対して、当該ディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）によるインターセクション（共通集合）は、当該インデックス付けされたセット（集合）の要素たちによるインターセクション（共通集合）たちの後に当該インデックスによるインターセクション（共通集合）を取ったものであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の、ファイナイト（有限）セット（集合）たちのファイナイト（有限）インデックス付けされたセット（集合）、当該インデックス付けされたセット（集合）のディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、当該ディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）によるプロダクト（積）は、当該インデックス付けされたセット（集合）の要素たちによるプロダクト（積）たちの後に当該インデックスによるプロダクト（積）を取ったものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）、任意の、サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）、当該サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちの各々に関する任意の、メジャラブルマップ（測定可能写像）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、全てのマップ（写像）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\((M', A')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{A_j \in \{A \text{ の全てのサブ- } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\{L_j \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_{j, l_j}: M \to M' \in \{A_j \text{ に関してメジャラブル（測定可能）な全てのマップ（写像）たち }\}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (\{f_{j, l_j}\}_{l_j \in L_j} \in \{\text{ 全てのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\})\)
\(\implies\)
\(\{f_{j, l_j}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} \in \{\text{ 全てのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that each \(f_{j, l_j}\) is measurable with respect to \(A\); Step 2: take any finite subset of \(\cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\), \(\cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}\) and \(\{{f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})\}_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}}\); Step 3: see that \(\mu (\cap_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{j^` \in J^`} \mu (\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\); Step 4: see that \(\mu (\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\).
Step 1:
For each \((j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\), \(f_{j, l_j}\) is measurable with respect to \(A\), because for each \(a' \in A'\), \({f_{j, l_j}}^{- 1} (a') \in A_j\), because \(f_{j, l_j}\) is measurable with respect to \(A_j\), so, \({f_{j, l_j}}^{- 1} (a') \in A_j \subseteq A\).
Step 2:
\(\{f_{j, l_j}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\) is independent if and only if for each \(\{a'_{j, l_j}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\), \(\{{f_{j, l_j}}^{- 1} (a'_{j, l_j})\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\) is independent, by the definition of independent indexed set of measurable maps from probability space into same measurable space, if and only if for each finite subset, \(S \subseteq \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\), \(\mu (\cap_{s \in S} {f_s}^{- 1} (a'_s)) = \prod_{s \in S} \mu ({f_s}^{- 1} (a'_s))\), by the definition of independent indexed set of events of probability space.
\(S \subseteq \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\) is a finite subset if and only if \(S = \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}\), where \(J^` \subseteq J\) is any finite subset and \(L^`_{j^`} \subseteq L_{j^`}\) is any finite subset.
So, what we need to see is that \(\mu (\cap_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\) for each \(J^` \in \{\text{ the finite subsets of } J\}\) and each \(\{L^`_{j^`} \in \{\text{ the finite subsets of } L_{j^`} \}\}_{j^` \in J^`}\).
Step 3:
Let us think of \(\mu (\cap_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\).
\(\cap_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}) = \cap_{j^` \in J^`} \cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})\), by the proposition that for any indexed set of sets and the disjointed union of the indexed set, the intersection by the disjointed union is the intersection by the index after the intersections by the elements of the indexed set.
But \(\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}) \in A_{j^`}\), because \({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}) \in A_{j^`}\) and it is a finite intersection.
As \(\{A_j\}_{j \in J}\) is independent, \(\{A_{j^`}\}_{j^` \in J^`}\) is independent, so, \(\{\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})\}_{j^` \in J^`}\) is independent, by the definition of independent indexed set of sub-\(\sigma\)-algebras of probability space.
So, \(\mu (\cap_{j^` \in J^`} \cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{j^` \in J^`} \mu (\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\), by the definition of independent indexed set of events of probability space.
Step 4:
But for each \(j^` \in J^`\), \(\mu (\cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\), because \(\{f_{j^`, l_{j^`}}\}_{l_{j^`} \in L_{j^`}}\) is independent for each \(j^` \in J^`\).
So, \(\mu (\cap_{j^` \in J^`} \cap_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{j^` \in J^`} \prod_{l^`_{j^`} \in L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\).
\(= \prod_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\), by the proposition that for any finite indexed set of finite sets, the disjointed union of the indexed set, and any commutative ring, the product by the disjointed union is the product by the index after the products by the elements of the indexed set.
Step 5:
So, \(\mu (\cap_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} \{j^`\} \times L^`_{j^`}} {f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}})) = \prod_{(j^`, l^`_{j^`}) \in \cup_{j^` \in J^`} L^`_{j^`}} \mu ({f_{j^`, l^`_{j^`}}}^{- 1} (a'_{j^`, l^`_{j^`}}))\).
So, \(\{f_{j, l_j}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\) is independent.
