モジュール（加群）に対して、ベーシス（基底）に要素を追加してリニアにインディペンデント（線形独立）に保つことはできないことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、各要素のインバース（逆）は当該要素に\(- 1\)-スカラーを掛けたものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、任意のベーシス（基底）に任意の要素を追加してリニアにインディペンデント（線形独立）に保つことはできないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b^j \vert j \in J\}\), \(\in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M \setminus B (B \cup \{m\} \notin \{M \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\})\)
//
2: 注
本プロパティは任意のモジュール（加群）ベーシス（基底）に対して成立する: モジュール（加群）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちは、必ずしも、ベクトルたちスペース（空間）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちのいくつかのプロパティたちを持たないという命題と比較のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(m = \sum_{j^` \in J^`} m_{j^`} b^{j^`}\); Step 2: see that \(\sum_{j^` \in J^`} r_{j^`} b^{j^`} + r m = 0\) can be realized with some nonzero coefficients.
Step 1:
There is a finite subset, \(J^` \subseteq J\), such that \(m = \sum_{j^` \in J^`} m_{j^`} b^{j^`}\), where \(m_{j^`} \in R\).
So, \(0 = - m + m = - m + \sum_{j^` \in J^`} m_{j^`} b^{j^`}\).
Step 2:
Let us suppose that \(\sum_{j^` \in J^`} r_{j^`} b^{j^`} + r m = 0\), where \(r_{j^`} \in R\) and \(r \in R\).
Let us take \(r_{j^`} = m_{j^`}\) and \(r = - 1\).
\(\sum_{j^` \in J^`} m_{j^`} b^{j^`} + (- 1) m = \sum_{j^` \in J^`} m_{j^`} b^{j^`} + (- m)\), by the proposition that for any module, the inverse of each element is the element \(- 1\)-scalar multiplied, \(= 0\), by Step 1.
So, \(\sum_{j^` \in J^`} r_{j^`} b^{j^`} + r m = 0\) can be realized by some nonzero coefficients.
So, \(B \cup \{m\}\) is not linearly independent.
