モジュール（加群）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちは、必ずしも、ベクトルたちスペース（空間）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちのいくつかのプロパティたちを持たないことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちは、必ずしも、ベクトルたちスペース（空間）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちのいくつかのプロパティたちを持たないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下でない、つまり、"\(\forall m \in M \setminus \{0\} (\{m\} \in \{\text{ 全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\})\)"
\(\land\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\exists B \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)"
\(\land\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\forall S \in \{M \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\} (\exists B \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} (S \subseteq B))\)"
\(\land\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\forall B = \{b^1, ..., b^d\} \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}, \forall b'^k = r_j b^j \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } r_k \neq 0 (B \setminus \{b^k\} \cup \{b'^k\} \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)"
\(\land\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\forall S \in \{M \text{ の全てのファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）たち }\} (\exists B \subseteq S (B \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}))\)"
\(\land\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\forall B_1, B_2 \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} (\vert B_1 \vert = \vert B_2 \vert)\)"
//
2: 注
あるモジュール（加群）はあるリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）を持つかもしれないところ、ベクトルたちスペース（空間）リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たちまたはベーシス（基底）たちのいくつかの馴染み深いプロパティたちは当該リニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）に保証されていない、したがって、これは、そうしたプロパティたちを不用意に仮定してしまわないようにするための注意喚起である。
何事かが必ずしもそうでないことを証明するある典型的方法は、ある反例を見ることである、しかし、後続する"証明（不完全）"は必ずしもある反例を見る見ない（理由は、単に、著者が直ぐには反例を思い付けなかったこと）、しかし、少なくとも、なぜ、ベクトルたちスペース（空間）たちに対する対応する証明がモジュール（加群）たちに対して通用しないかを見る（それが、それが"不完全"と位置づけられている理由である）。
3: Proof (imperfect)
Whole Strategy: Step 1: see an example that a nonzero-\(1\)-element subset is not linearly independent; Step 2: see why the proof for the existence of basis for vectors spaces does not work for modules; Step 3: see an example that a linearly independent subset cannot be extended to be a basis; Step 4: see why the proof for replacing a basis element with a linear combination of the basis does not work for modules; Step 5: see an example that a finite generator cannot be reduced to be a basis; Step 6: see why the proof for bases cardinalities does not work for modules.
Step 1:
Let us see an example that an \(\{m\}\) where \(m \in M \setminus \{0\}\) is not linearly independent.
Let \(R = \mathbb{Z} / 6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}\) and \(M = R\), as the canonical module mentioned in the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis.
Let us take \(\{[2]\}\) where \([2] \in M \setminus \{0\}\).
\([3] [2] = [6] = [0]\), so, \(\{[2]\}\) is not linearly independent.
When \(M\) is a vectors space, \(r v = 0\) implies that \(r^{- 1} r v = r^{-1} 0 = 0\), which implies that \(v = 0\), but that does not work for a module, because \(r^{- 1}\) does not necessarily exist.
Step 2:
Let us see why the proof for the existence of basis for vectors spaces does not work for modules.
the proposition that any vectors space has a basis is based on the proposition that for any vectors space, any generator of the space, and any linearly independent subset contained in the generator, the generator can be reduced to be a basis with the linearly independent subset retained.
But while \(M\) is a generator, it is not proved that the generator has a linearly independent subset (because of Step 1), and even if it does, while \(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} c^j b_j + c p = 0\) holds for each \(p \in M\) for a nonzero \(c\), \(p = c^{-1} \sum_{j \in \{1, ..., n\}} - c^j b_j\) may not be valid, because \(c^{-1}\) may not exist.
So, Proof of the proposition that for any vectors space, any generator of the space, and any linearly independent subset contained in the generator, the generator can be reduced to be a basis with the linearly independent subset retained does not work for modules.
Step 3:
Let us see an example that a linearly independent subset cannot be extended to be a basis.
Let \(R = \mathbb{Z}\) and \(M = R\), as the canonical module mentioned in the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis.
\(\{2\}\) is linearly independent, because \(r 2 = 0\) implies that \(r = 0\).
But \(\{2\}\) is not any basis, because \(1\) cannot be realized as any linear combination of \(\{2\}\).
\(\{2\}\) cannot be extended to be any basis, because any \(\{2, r\}\) is not linearly independent, because \(r 2 + - 2 r = 0\).
Step 4:
Let us see why the proof for replacing a basis element with a linear combination of the basis does not work for modules.
Proof of the proposition that for any finite dimensional vectors space basis, replacing any element by any linear combination of the elements with any nonzero coefficient for the element forms a basis does not work for modules, because \(d^k c^k = 0\) and \(c^k \neq 0\) does not necessarily imply \(d^k = 0\) (for example, for \(R = \mathbb{Z} / 6\), \([2] [3] = [6] = [0]\)), and even if it does, taking \(e'_k / c_k\) may not be valid, because \({c_k}^{- 1}\) may not exist.
Step 5:
Let us see an example that a finite generator cannot be reduced to be a basis.
Let \(R = \mathbb{Z}\) and \(M = R\), as the canonical module mentioned in the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis.
\(\{2, 3\}\) is a finite generator of \(M\), because for each \(m \in M\), \(m = m (3 + - 2) = - m 2 + m 3\).
But \(\{2, 3\}\) is not any basis, because it is not linearly independent, because \(3 2 + - 2 3 = 0\), and not \(\{2\}\) nor \(\{3\}\) is any basis, because \(1\) cannot be realized by each of them.
So, \(\{2, 3\}\) cannot be reduced to be any basis.
Step 6:
Let us see why the proof for bases cardinalities does not work for modules.
the proposition that for any finite-dimensional vectors space, there is no basis that has more than the dimension number of elements depends on the proposition that for any finite dimensional vectors space basis, replacing an element by any linear combination of the elements with any nonzero coefficient for the element forms a basis, which corresponds to Step 4.
