モジュール（加群）に対して、要素のインバース（逆）は要素に\(- 1\)-スカラーを掛けたものであることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、各要素に\(0\)-スカラーを掛けたものは\(0\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、各要素はユニークなインバース（逆）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、各要素のインバース（逆）は当該要素に\(- 1\)-スカラーを掛けたものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M (- m = (- 1) m)\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(m + (- 1) m = 0\).
Step 1:
\(- 1 \in R\) is the additive inverse of \(1\), the multiplicative identity of \(R\).
\(- m\) is the inverse of \(m\).
\(m + (- 1) m = 1 m + (- 1) m = (1 + (- 1)) m = 0 m = 0\), by the proposition that for any module, each element \(0\)-scalar multiplied is \(0\).
So, \((- 1) m\) is an inverse of \(m\), but in fact, it is the inverse of \(m\), by the proposition that for any module, each element has the unique inverse.
So, \((- 1) m = - m\).
