ディビジョン（除算持ち）リング（環）上方のモジュール（加群）に対して、非ゼロ要素に非ゼロスカラーを掛けたものは非ゼロであることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、\(0\)に各スカラーを掛けたものは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方の任意のモジュール（加群）に対して、各非ゼロ要素に各非ゼロスカラーを掛けたものは非ゼロであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのディビジョン（除算持ち）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M \setminus \{0\}, \forall r \in R \setminus \{0\} (r m \neq 0)\)
//
2: 注
任意のモジュール（加群）に対して、ある非ゼロ要素にある非ゼロスカラーを掛けたものは必ずしも非ゼロでないという命題と比較のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(r m = 0\), and find a contradiction.
Step 1:
Let \(m \in M \setminus \{0\}\) and \(r \in R \setminus \{0\}\) be any.
Let us suppose that \(r m = 0\).
As \(R\) is a division ring and \(r \neq 0\), there is \(r^{- 1} \in R\).
\(r^{- 1} (r m) = r^{- 1} 0 = 0\), by the proposition that for any module, \(0\) each-scalar multiplied is \(0\), but the left hand side is \((r^{- 1} r) m = 1 m = m\), so, \(m = 0\), a contradiction against that \(m \neq 0\).
So, \(r m \neq 0\).
