プロバビリティースペース（確率空間）から同一メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）である、もしも、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインデックス付けされたセット（集合）がインディペンデント（独立）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）から任意の同一メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たちの任意のインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）である、もしも、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）サブ-\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインデックス付けされたセット（集合）がインディペンデント（独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\((M', A')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_j: M \to M' \in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たち }\}\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{f_j\}_{j \in J} \in \{\text{ 全てのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J} \in \{\text{ 全てのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sigma (f_j)\) is a sub-\(\sigma\)-algebra of \(A\); Step 2: suppose that \(\{f_j\}_{j \in J}\) is independent; Step 3: see that \(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\) is independent; Step 4: suppose that \(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\) is independent; Step 5: see that \(\{f_j\}_{j \in J}\) is independent.
Step 1:
For each \(j \in J\), \(\sigma (f_j)\) is a sub-\(\sigma\)-algebra of \(A\), because while \(\sigma (f_j) = \{{f_j}^{-1} (a') \vert a' \in A'\}\), as \(f_j\) is measurable, \({f_j}^{-1} (a') \in A\), so, \(\sigma (f_j) \subseteq A\).
So, talking about \(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\) being independent makes sense.
Step 2:
Let us suppose that \(\{f_j\}_{j \in J}\) is independent.
Step 3:
Let \(\{a_j \in \sigma (f_j)\}_{j \in J}\) be any.
For each \(j \in J\), \(a_j = {f_j}^{- 1} (a'_j)\) for an \(a'_j \in A'\).
\(\{{f_j}^{- 1} (a'_j)\}_{j \in J}\) is independent, so, \(\{a_j\}_{j \in J}\) is independent.
So, \(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\) is independent.
Step 4:
Let us suppose that \(\{\sigma (f_j)\}_{j \in J}\) is independent.
Step 5:
Let \(\{a'_j \in A'\}_{j \in J}\) be any.
For each \(j \in J\), \({f_j}^{- 1} (a'_j) \in \sigma (f_j)\).
So, \(\{{f_j}^{- 1} (a'_j)\}_{j \in J}\) is independent.
So, \(\{f_j\}_{j \in J}\) is independent.
