クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{H}\): \(= \text{ クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環） }\)
\(R\): \(= \{\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} \vert c_1, c_2 \in \mathbb{C}\}\)で、カノニカルなアディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）を持つもの
\(f\): \(: \mathbb{H} \to R, a + b i + c j + d k \mapsto \begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(R\) is a ring; Step 2: see that \(f\) is a ring homomorphism; Step 3: see that \(f\) is a bijection; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \(R\) satisfies the conditions to be a ring.
Let us see that \(R\) is an Abelian group under addition.
\(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c'_1 & c'_2 \\ \overline{- c'_2} & \overline{c'_1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + c'_1 & c_2 + c'_2 \\ \overline{- c_2} + \overline{- c'_2} & \overline{c_1} + \overline{c'_1} \end{pmatrix}\), but \(\overline{c_1 + c'_1} = \overline{c_1} + \overline{c'_1}\) and \(\overline{- (c_2 + c'_2)} = \overline{- c_2 - c'_2} = \overline{- c_2} + \overline{- c'_2}\), so, \(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c'_1 & c'_2 \\ \overline{- c'_2} & \overline{c'_1} \end{pmatrix} \in R\).
Additions are associative, because \(\mathbb{C}\) is associative in addition.
\(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in R\) is the identity element in addition.
For each \(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} - c_1 & - c_2 \\ \overline{- (- c_2)} & \overline{- c_1} \end{pmatrix} \in R\) is the inverse element, because \(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - c_1 & - c_2 \\ \overline{- (- c_2)} & \overline{- c_1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 - c_1 & c_2 - c_2 \\ \overline{- c_2} + \overline{- (- c_2)} & \overline{c_1} + \overline{- c_1} \end{pmatrix} = 0\) and \(\begin{pmatrix} - c_1 & - c_2 \\ \overline{- (- c_2)} & \overline{- c_1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - c_1 + c_1 & - c_2 + c_2 \\ \overline{- (- c_2)} + \overline{- c_2} & \overline{- c_1} + \overline{c_1} \end{pmatrix} = 0\).
Addition is commutative, because \(\mathbb{C}\) is commutative in addition.
So, \(R\) is an Abelian group under addition.
Let us see that \(R\) is a monoid under multiplication.
\(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c'_1 & c'_2 \\ \overline{- c'_2} & \overline{c'_1} \end{pmatrix} \in R\), because \(= \begin{pmatrix} c_1 c'_1 + c_2 \overline{- c'_2} & c_1 c'_2 + c_2 \overline{c'_1} \\ \overline{- c_2} c'_1 + \overline{c_1} \overline{- c'_2} & \overline{- c_2} c'_2 + \overline{c_1} \overline{c'_1} \end{pmatrix}\), but \(\overline{c_1 c'_1 + c_2 \overline{- c'_2}} = \overline{c_1 c'_1} + \overline{c_2 \overline{- c'_2}} = \overline{c_1} \overline{c'_1} + \overline{c_2} (- c'_2) = \overline{- c_2} c'_2 + \overline{c_1} \overline{c'_1}\) and \(\overline{- (c_1 c'_2 + c_2 \overline{c'_1})} = \overline{- c_1 c'_2 - c_2 \overline{c'_1}} = \overline{c_1} \overline{- c'_2} + \overline{- c_2} c'_1 = \overline{- c_2} c'_1 + \overline{c_1} \overline{- c'_2}\).
Multiplications are associative, because matrices multiplications are associative, by the proposition that for any ring, the multiplications of any matrices over the ring are associative.
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in R\) is the identity element in multiplication.
So, \(R\) is a monoid under multiplication.
Multiplication is distributive with respect to addition, by the proposition that for any ring, the multiplications of any matrices over the ring are distributive with respect to addition.
So, \(R\) is a ring.
Step 2
Let us see that \(f\) is indeed valid.
\(\overline{a + b i} = a - b i\) and \(\overline{- (c + d i)} = \overline{- c - d i} = - c + d i\), so, \(f\) is into \(R\).
So, \(f\) is valid.
\(f (0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0\).
\(f (1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\).
\(f ((a + b i + c j + d k) + (a' + b' i + c' j + d' k)) = f (a + a' + (b + b') i + (c + c') j + (d + d') k) = \begin{pmatrix} (a + a') + (b + b') i & (c + c') + (d + d') i \\ - (c + c') + (d + d') i & (a + a') - (b + b') i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' + b' i & c' + d' i \\ - c' + d' i & a' - b' i \end{pmatrix} = f (a + b i + c j + d k) + f (a' + b' i + c' j + d' k)\).
\(f ((a + b i + c j + d k) (a' + b' i + c' j + d' k)) = f ((a a' - b b' - c c' - d d') + (a b' + b a' + c d' - d c') i + (a c' - b d' + c a' + d b') j + (a d' + b c' - c b' + d a') k) = \begin{pmatrix} (a a' - b b' - c c' - d d') + (a b' + b a' + c d' - d c') i & (a c' - b d' + c a' + d b') + (a d' + b c' - c b' + d a') i \\ - (a c' - b d' + c a' + d b') + (a d' + b c' - c b' + d a') i & (a a' - b b' - c c' - d d') - (a b' + b a' + c d' - d c') i \end{pmatrix}\), while \(f (a + b i + c j + d k) f (a' + b' i + c' j + d' k) = \begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' + b' i & c' + d' i \\ - c' + d' i & a' - b' i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a + b i) (a' + b' i) + (c + d i) (- c' + d' i) & (a + b i) (c' + d' i) + (c + d i) (a' - b' i) \\ (- c + d i) (a' + b' i) + (a - b i) (- c' + d' i) & (- c + d i) (c' + d' i) + (a - b i) (a' - b' i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a a' - b b' - c c' - d d' + (a b' + b a' + c d' - d c') i & a c' - b d' + c a' + d b' + (a d' + b c' - c b' + d a') i \\ - c a' - d b' - a c' + b d' + (- c b' + d a' + a d' + b c') i & - c c' - d d' + a a' - b b' + (- c d' + d c' - a b' - b a') i \end{pmatrix} = f ((a + b i + c j + d k) (a' + b' i + c' j + d' k))\).
So, \(f\) is a ring homomorphism.
Step 3:
\(f\) is an injection, because for each \(a + b i + c j + d k \neq a' + b' i + c' j + d' k\), \(a \neq a'\), \(b \neq b'\), \(c \neq c'\), or \(d \neq d'\), and anyway, \(f (a + b i + c j + d k) = \begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a' + b' i & c' + d' i \\ - c' + d' i & a' - b' i \end{pmatrix} = f (a' + b' i + c' j + d' k)\).
\(f\) is a surjection, because for each \(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix}\), let \(c_1 = a + b i\) and \(c_2 = c + d i\), then, \(\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix} = f (a + b i + c j + d k)\).
So, \(f\) is a bijection.
Step 4:
\(f\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective ring homomorphism is a 'rings - homomorphisms' isomorphism.
