ディビジョン（除算持ち）リング（環）上方モジュール（加群）でファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、より大きいカーディナリティ（濃度）を持つベーシス（基底）はないことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、より大きいカーディナリティ（濃度）を持つベーシス（基底）はないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのディビジョン（除算持ち）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B = \{b^1, ..., b^n\}\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\lnot \exists B' \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} (\vert B \vert \lt \vert B' \vert)\)
//
2: 注
したがって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題はある一般のリング（環）上方のあるモジュール（加群）に対して成立する保証がないが、本命題は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）に対して成立する。
ベーシス（基底）でそのカーディナリティ（濃度）が\(B\)のそれより大きいものは無いので、ベーシス（基底）でそのカーディナリティ（濃度）が\(B\)のそれより小さいものも無い、なぜなら、もしも、以下を満たすあるベーシス（基底）\(B'\)、つまり、\(\vert B' \vert \lt \vert B \vert\)、があったら、\(B\)は、そのカーディナリティ（濃度）が\(B'\)のそれより大きいあるベーシス（基底）であることになる、矛盾。
したがって、もしも、カーディナリティ（濃度）\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)のあるベーシス（基底）がある場合、任意のベーシス（基底）はカーディナリティ（濃度）\(n\)を持つ。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that there was a \(B'\) such that \(\vert B \vert \lt \vert B' \vert\); Step 2: replace each element of \(B\) with an element of \(B'\) to keep being a basis; Step 3: find a contradiction.
Step 1:
Let us suppose there was a basis, \(B' = \{b'^l \vert l \in L\}\) where \(L\) is a possibly uncountable index set, such that \(\vert B \vert \lt \vert B' \vert\).
Step 2:
There would be a \(b'^{l_1} = r'_{l_1, j} b^j \in B'\) such that \(r'_{l_1, 1} \neq 0\), because while each \(b'^l\) could be expressed as \(r'_{l, j} b^j\), because \(B\) was a basis, if all the elements of \(B'\) were with \(r'_{l, 1} = 0\), while \(b^1\) was a linear combination of \(B'\), because \(B'\) was a basis, \(b^1\) would be a linear combination of \(\{b^2, ..., b^n\}\), a contradiction against that \(B\) was a basis: if \(b^1 = r_2 b^2 + ... + r_n b^n\), \(b^1 - r_2 b^2 - ... - r_n b^n = 0\), which would mean that \(B\) was not linearly independent.
Let us take \(B_1 := \{b'^{l_1}, b^2, ..., b^n\}\), which would be a basis, by the proposition that for any module over any division ring and any basis, replacing any element of the basis by any linear combination of the basis with any nonzero coefficient for the element forms a basis.
Let us do that inductively to replace all the elements of \(B\).
Let us suppose that we had already a basis, \(B_{k - 1} := \{b'^{l_1}, ..., b'^{l_{k - 1}}, b^k, ..., b^n\}\).
There would be a \(b'^{l_k} = r'_{l_k, 1} b'^{l_1} + ... + r'_{l_k, k - 1} b'^{l_{k - 1}} + r'_{l_k, k} b^k + ... + r'_{l_k, n} b^n \in B'\) such that \(r'_{l_k, k} \neq 0\), because while each \(b'^l\) could be expressed as \(r'_{l, 1} b'^{l_1} + ... + r'_{l, k - 1} b'^{l_{k - 1}} + r'_{l, k} b^k + ... + r'_{l, n} b^n\), because \(B_{k - 1}\) was a basis, if all the elements of \(B'\) were with \(r'_{l, k} = 0\), while \(b^k\) was a linear combination of \(B'\), because \(B'\) was a basis, \(b^k\) would be a linear combination of \(\{b'^{l_1}, ..., b'^{l_{k - 1}}, b^{k + 1}, ..., b^n\}\), a contradiction against that \(B_{k - 1}\) was a basis: if \(b^k = r_1 b'^{l_1} + ... + r_{k - 1} b'^{l_{k - 1}} + r_{k + 1} b^{k + 1} + ... + r_n b^n\), \(b^k - r_1 b'^{l_1} - ... - r_{k - 1} b'^{l_{k - 1}} - r_{k + 1} b^{k + 1} - ... - r_n b^n = 0\), which would mean that \(B_{k - 1}\) was not linearly independent.
Let us take \(B_k := \{b'^{l_1}, ..., b'^{l_k}, b^{k + 1}, ..., b^n\}\), which would be a basis, by the proposition that for any module over any division ring and any basis, replacing any element of the basis by any linear combination of the basis with any nonzero coefficient for the element forms a basis.
After all, let us take \(B_n := \{b'^{l_1}, ..., b'^{l_n}\}\), which would be a basis.
Step 3:
\(B_n \subset B'\), because \(\vert B_n \vert \le \vert B \vert \lt \vert B' \vert\).
\(B'\) would not be linearly independent, by the proposition that for any module, any basis cannot be supplemented with any element to keep linearly independent, a contradiction against that \(B'\) was a basis.
So, the supposition of Step 1 was wrong, so, there is no basis, \(B'\), such that \(\vert B \vert \lt \vert B' \vert\).
