ディビジョン（除算持ち）リング（環）上方モジュール（加群）ベーシス（基底）に対して、要素を要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）で要素に対して非ゼロコエフィシェント（係数）を持つもので置換したものはベーシス（基底）を形成することの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、0の任意のマルチプル（倍）は0であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、各要素に\(0\)-スカラーを掛けたものは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベーシス（基底）の任意の要素を当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）で当該要素に対して任意の非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ任意のもので置換したものはあるベーシス（基底）を形成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのディビジョン（除算持ち）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B = \{b^j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を持つもの
\(k\): \(\in J\)
\(b'^k\): \(= \sum_{j \in J^`} r_j b^j\)、ここで、\(J^` \subseteq J\)は以下を満たす任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、つまり、\(k \in J^`\)および\(r_k \neq 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B' := (B \setminus \{b^k\}) \cup \{b'^k\} \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 注
したがって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題はある一般のリング（環）上方のあるモジュール（加群）に対して成立しないかもしれないが、本命題は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方の任意のモジュール（加群）に対して成立する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(B'\) is linearly independent; Step 2: see that \(B'\) spans \(M\); Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \(B'\) is linearly independent.
Let \(L \subseteq J\) be any finite subset.
\(k \in L\) or \(k \notin L\).
Let us suppose that \(k \in L\).
Let us suppose that \(r'_k b'^k + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l = 0\).
\(r'_k \sum_{j \in J^`} r_j b^j + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l = 0\).
But the left hand side is \(r'_k r_k b^k + \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} r'_k r_j b^j + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l\), whose coefficient of \(b^k\) is \(r'_k r_k\), so, \(r'_k r_k = 0\), because \(B\) is linearly independent.
As \(R\) is a division ring, there is \({r_k}^{- 1} \in R\), and \(r'_k r_k {r_k}^{- 1} = 0 {r_k}^{- 1} = 0\), by the proposition that for any ring, any multiple of 0 is 0, but the left hand side is \(r'_k (r_k {r_k}^{- 1}) = r'_k 1 = r'_k\), so, \(r'_k = 0\).
So, \(0 b'^k + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l = 0 + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l\), by the proposition that for any module, each element \(0\)-scalar multiplied is \(0\), \(= \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l = 0\), which implies that all the \(r'_l\) s are \(0\), because \(B\) is linearly independent.
So, all the coefficients of \(r'_k b'^k + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l\) are \(0\).
Let us suppose that \(k \notin L\).
Let us suppose that \(\sum_{l \in L} r'_l b^l = 0\).
All the \(r'_l\) s are \(0\), because \(B\) is linearly independent.
So, \(B'\) is linearly independent.
Step 2:
Let us see that each \(m \in M\) is a linear combination of \(B'\).
As \(r_k \neq 0\), there is \({r_k}^{- 1} \in R\).
\({r_k}^{- 1} b'^k = {r_k}^{- 1} \sum_{j \in J^`} r_j b^j = \sum_{j \in J^`} {r_k}^{- 1} r_j b^j = {r_k}^{- 1} r_k b^k + \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} {r_k}^{- 1} r_j b^j = 1 b^k + \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} {r_k}^{- 1} r_j b^j = b^k + \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} {r_k}^{- 1} r_j b^j\), so, \(b^k = {r_k}^{- 1} b'^k - \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} {r_k}^{- 1} r_j b^j\).
There is a finite subset, \(L \subseteq J\), such that \(m = \sum_{l \in L} r'_l b^l\), because \(B\) is a basis.
If \(k \in L\), \(m = r'_k b^k + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l = r'_k ({r_k}^{- 1} b'^k - \sum_{j \in J^` \setminus \{k\}} {r_k}^{- 1} r_j b^j) + \sum_{l \in L \setminus \{k\}} r'_l b^l\), which is a linear combination of \(B'\).
If \(k \notin L\), \(m = \sum_{l \in L} r'_l b^l\) is already a linear combination of \(B'\).
So, anyway, \(m\) is a linear combination of \(B'\).
Step 3:
So, \(B'\) is a basis of \(M\).
