クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*\mathbb{H}^d\): 下で指定されるトポロジーを持つもの
\( M_{2 \times 2 d} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\( f\): \(: \mathbb{H} \to R\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内に定義された
\( f'''\): \(: \mathbb{H}^d \to M_{2 \times 2 d} (\mathbb{C})\)、それは、各\(p \in \mathbb{H}^n\)、行とみなしたもの、の各コンポーネントを\(f (p_j)\)で置換する
\( f'''^`\): \(: \mathbb{H}^d \to f''' (\mathbb{H}^d)\), \(= f''' \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)、ここで、\(f''' (\mathbb{H}^d) \subseteq M_{2 \times 2 d} (\mathbb{C})\)は当該トポロジカルサブスペース（部分空間）
//
コンディションたち:
\(f'''^` \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
それが意味するのは、\(\mathbb{H}^d\)のトポロジーは、\(f'''^`\)をホメオモーフィック（位相同形写像）にするように指定されたということ。
2: 注
もっと具体的に言うと、任意の\(S \subseteq \mathbb{H}^d\)はオープン（開）である、もしも、\(f'''^` (S) \subseteq f''' (\mathbb{H}^d) \subseteq M_{2 \times 2 d} (\mathbb{C})\)がオープンである場合、そしてその場合に限って。
\(f'''^`\)はあるバイジェクション（全単射）であるから、それは、本当にあるトポロジーである。
ある予期される疑問は、なぜ、\(\mathbb{H}^d\)は\(f'''^`: (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, ..., a_d + b_d i + c_d j + d_d k) \mapsto (a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_d, b_d, c_d, d_d)\)によって\(\mathbb{R}^{4 d}\)へホメオモーフィック（位相同形写像）にされないのか、というもの、それは、勿論、可能である、しかし、それほど便利でない、なぜなら、それは、便利な\(f\)に（少なくとも直接には）結びつけられていない。
