\(m \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(m \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(m \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( m\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( \{M\}\): \(= \text{ } \mathbb{H} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\(*M_{m \times n} (\mathbb{H})\): \(= \{M \in \{M\} \vert M \in \text{ 全ての } m \times n \text{ マトリックス（行列）たち } \}\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\( f\): \(: \mathbb{H} \to R\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内で定義された
\( f'\): \(: M_{m \times n} (\mathbb{H}) \to M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)、それは、\(M_{m \times n} (\mathbb{H})\)の各要素の各コンポーネントをその\(f\)下のイメージ（像）で置換する
\( f'^`\): \(: M_{m \times n} (\mathbb{H}) \to f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)、ここで、\(f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)は、\(M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、\(= f' \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
//
コンディションたち:
\(f'^` \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
\(m = n\)である時は、\(M_{m \times n} (\mathbb{H})\)はしばしば\(M_n (\mathbb{H})\)と表記される。
2: 注
言い換えると、\(M_{m \times n} (\mathbb{H})\)は、\(f'^`\)をあるホメオモーフィズム（位相同形写像）にするトポロジーが与えられる、それは、妥当である、なぜなら、\(f'^`\)はあるバイジェクション（全単射）である: 任意の\(S \subseteq M_{m \times n} (\mathbb{H})\)はオープン（開）である、もしも、\(f'^` (S) \subseteq f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。
\(f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)は\(M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)のあるクローズド（閉）サブスペース（部分空間）であることを見よう。
\(f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)は、\(M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)の以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、各要素の各\(2 \times 2\)ブロックは\(\begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{pmatrix}\)という形を持つ、に他ならない。
\(p \in M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C}) \setminus f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)を任意のものとしよう。
\(p\)のある\(2 \times 2\)ブロックは\(\begin{pmatrix} a + b i & c + d i \\ - c' + d' i & a' - b' i \end{pmatrix}\)、ここで、\(a \neq a'\)、\(b \neq b'\)、\(c \neq c'\)、\(d \neq d'\)のいずれか、の形を持つ。
\(a \neq a'\)と仮定しよう。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{a, \epsilon} \cap B_{a', \epsilon} = \emptyset\)、がある。
ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(h: M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C}) \to \mathbb{R}^{2 (4 m n)}\)、それによって\(M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)のトポロジーが定義されている、がある。
\(h (p)\)は\((..., a, b, - c', d', ..., c, d, a', - b', ...)\)、ここで、\(a\)は\(j\)コンポーネントであり\(a'\)は\(l\)コンポーネントである、の形を持つ。
\(B_{h (p), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{2 (4 m n)}\)を取ろう。
各\(r \in B_{h (p), \epsilon}\)に対して、\(r^j \neq r^l\)、なぜなら、\(r^j \in B_{a, \epsilon}\)および\(r^l \in B_{a', \epsilon}\)。
したがって、\(h^{- 1} (B_{h (p), \epsilon}) \subseteq M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C}) \setminus f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)、なぜなら、\(h^{- 1} (r)\)は当該関心事\(2 \times 2\)ブロックを\(\begin{pmatrix} r^j + r^{j + 1} i & r^{l - 2} + r^{l - 1} i \\ r^{j + 2} + r^{j + 3} i & r^l + r^{l + 1} i \end{pmatrix}\)、ここで、\(r^j \neq r^l\)、として持つ。
\(h^{- 1} (B_{h (p), \epsilon})\)は\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(h\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C}) \setminus f' (M_{m \times n} (\mathbb{H}))\)はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
\(b \neq b'\)、\(c \neq c'\)、\(d \neq d'\)のいずれかである時も、同様である。
したがって、\(f' (M_{m \times n} (\mathbb{H})) \subset M_{2 m \times 2 n} (\mathbb{C})\)はクローズド（閉）である。
\(m = n\)である時は、\(M_n (\mathbb{H})\)はあるリング（環）であり\(f'^`\)はある'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題によって、そして、マルチプリケーション（乗法）\(m: M_n (\mathbb{H}) \times M_n (\mathbb{H}) \to M_n (\mathbb{H})\)はコンティニュアス（連続）である、任意のクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちマルチプリケーション（乗法）可能ファイナイト（有限）プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
クォータニオン（4元数）コンジュゲーション（共役）トランスポジション（転置）\(c: M_n (\mathbb{H}) \to M_n (\mathbb{H}), M \mapsto M^*\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(c = {f'^`}^{- 1} \circ c' \circ f'^`\)、ここで、\(c'\)は\(f' (M_n (\mathbb{H})) \subseteq M_{2 n} (\mathbb{C})\)上のエルミートコンジュゲーション（共役）、であることを見よう。
\(M \in M_n (\mathbb{H})\)を任意のもの、そして、\(M' := f'^` (M)\)としよう。
\(M'\)の\((j, l)\)-\(2 \times 2\)-ブロックは、\(\begin{pmatrix} M'^{2 (j - 1) + 1}_{2 (l - 1) + 1} & M'^{2 (j - 1) + 1}_{2 (l - 1) + 2} \\ M'^{2 (j - 1) + 2}_{2 (l - 1) + 1} & M'^{2 (j - 1) + 2}_{2 (l - 1) + 2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^j_l + b^j_l i & c^j_l + d^j_l i \\ - c^j_l + d^j_l i & a^j_l - b^j_l i \end{pmatrix}\)、ここで、\(a^j_l + b^j_l i + c^j_l j + d^j_l k\)は\(M\)の\((j, l)\)-コンポーネント、である。
\(c' (M')^p_q = \overline{M'^q_p}\)、したがって、\(c' (M')\)の\((l, j)\)-\(2 \times 2\)-ブロックは\(\begin{pmatrix} c' (M')^{2 (l - 1) + 1}_{2 (j - 1) + 1} & c' (M')^{2 (l - 1) + 1}_{2 (j - 1) + 2} \\ c' (M')^{2 (l - 1) + 2}_{2 (j - 1) + 1} & c' (M')^{2 (l - 1) + 2}_{2 (j - 1) + 2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overline{M'^{2 (j - 1) + 1}_{2 (l - 1) + 1}} & \overline{M'^{2 (j - 1) + 2}_{2 (l - 1) + 1}} \\ \overline{M'^{2 (j - 1) + 1}_{2 (l - 1) + 2}} & \overline{M'^{2 (j - 1) + 2}_{2 (l - 1) + 2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^j_l - b^j_l i & - c^j_l - d^j_l i \\ c^j_l - d^j_l i & a^j_l + b^j_l i \end{pmatrix}\)である。
したがって、\({f'^`}^{- 1} \circ c' \circ f'^` (M)\)の\((l, j)\)-コンポーネントは\(a^j_l - b^j_l i - c^j_l j - d^j_l k = \overline{a^j_l + b^j_l i + c^j_l j + d^j_l k}\)である。
したがって、\(({f'^`}^{- 1} \circ c' \circ f'^` (M))^l_j = \overline{M^j_l}\)、それが意味するのは、\({f'^`}^{- 1} \circ c' \circ f'^` (M) = M^* = c (M)\)。
\(f'^`\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f'^`\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(c'\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(c'\)は\(M_{2 n} (\mathbb{C})\)上のエルミートコンジュゲーション（共役）（それはコンティニュアス（連続）である、\(m \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義に対する"注"によって）のリストリクション（制限）である、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題が適用される。
\({f'^`}^{- 1}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f'^`\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(c = {f'^`}^{- 1} \circ c' \circ f'^`\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ある予期される疑問は、なぜ、\(M_{m \times n} (\mathbb{H})\)は\(\mathbb{R}^{4 m n}\)へ\(f'^`: M \mapsto (a^1_1, b^1_1, c^1_1, d^1_1, ..., a^m_1, b^m_1, c^m_1, d^m_1, ..., a^1_n, b^1_n, c^1_n, d^1_n, ..., a^m_n, b^m_n, c^m_n, d^m_n)\)、ここで、\(M^j_l = a^j_l + b^j_l i + c^j_l j + d^j_l k\)、によってホメオモーフィック（位相同形写像）にされないのか、ということ、それは、勿論、可能である、しかし、それほど便利でない、なぜなら、それは、便利な\(f\)と（少なくとも直接には）結びついていない。実際、\(m = n\)である時は、\(f'^`\)は全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題内の\(f''\)である。
