トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）のあるコンパクトサブセット（部分集合）とあるサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしも当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトでないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{T' \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)で、\(\lnot K \subseteq T\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、\(K \cap T \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
\(K\)が\(T\)内に包含されている時は、\(K \cap T = K\)は不可避に\(T\)上でコンパクトである、ある記事内に記述されているとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある反例を見る。
ステップ1:
ある反例を見よう。
\(T' = \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(T = (0, 1)\)、\(K = [-1, 1]\)としよう。
\(K\)は\(\mathbb{R}\)上でコンパクトである、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。
\(K \cap T = (0, 1)\)は\(T\)上でコンパクトでない、なぜなら、オープンカバー（開被覆）\(\{(1 / 2, 1), (1 / 4, 1 / 2 + 1 / 4), (1 / 8, 1 / 2 + 1 / 4 + 1 /8), ...\}\)はファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）は持たない、例えば。
