トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）内に包含されているものはサブスペース（部分空間）上でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{T' \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)で、\(K \subseteq T\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
\(K\)が\(T\)内に包含されていない時は、\(K \cap T\)は必ずしも\(T\)上でコンパクトでない、ある記事内に記述されているとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(K\)の\(T\)上における任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J\}\)を取り、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を取る。
ステップ1:
\(\{U_j \vert j \in J\}\)を、\(K\)の\(T\)上における任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j\)は\(T\)のあるオープンサブセット（開部分集合）である、したがって、\(U_j = U'_j \cap T\)、ここで、\(U'_j \subseteq T'\)はあるオープンサブセット（開部分集合）、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(\{U'_j \vert j \in J\}\)は、\(K\)の\(T'\)上におけるあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(\{U_j \vert j \in J\}\)は\(K\)をカバーするから、より大きいかもしれない\(\{U'_j \vert j \in J\}\)は\(K\)をカバーする。
\(K\)は\(T'\)上でコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U'_j \vert j \in J^`\}\)、ここで、\(J^` \subseteq J\)はあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、がある。
\(\{U_j \vert j \in J^`\}\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である、なぜなら、\(\cup_{j \in J^`} U_j = \cup_{j \in J^`} (U'_j \cap T)\)、しかし、各ポイント\(k \in K\)はある\(j \in J^`\)に対して\(k \in U'_j\)および\(k \in T\)を満たす、したがって、\(k \in U'_j \cap T = U_j\)、その\(j\)に対して。
したがって、\(K\)は\(T\)上でコンパクトである。
